[고급물리학] 변위 전류와 맥스웰 방정식

2022.05.17 - [2022 고급물리학] - [고급물리학] 교류 발전과 RLC 공진 회로

[고급물리학] 교류 발전과 RLC 공진 회로

학습 목표

• 전자기파의 파동 방정식을 유도하고, 맥스웰 방정식의 과학사적 의미에 대해 토의할 수 있다.
• 전자기파의 발생 원리를 이해하고, 전자기파의 성질과 종류를 구별할 수 있다.

물리학 전개도

전자기장이 존재하기 위해 전하가 필요하다고 여겨졌다. 전하 주위에 전기장이 정의되고, 전하가 움직여 전류가 흐를 때 그 주위에 자기장이 정의되기 때문이다. 그러나 패러데이의 '전자기 유도'와 맥스웰의 '변위 전류'는 전자기장의 본질을 재조명했고, 그 과정에서 '전자기파'란 존재를 유도하였다. 

 

1. 수정된 암페어 법칙

 

1) 변위 전류의 의의

암페어 법칙은 임의의 폐곡선에 대한 자기장의 선적분과 그 폐곡선으로 둘러싸인 임의의 면을 통과하는 전류 사이의 관계를 나타낸다.

암페어 법칙은 전류가 흐를 때만 주변에 자기장이 만들어진다는 것을 보여 준다. 하지만 맥스웰은 전류가 흐르지 않아도 자기장이 형성될 수 있음을 알아냈다. 맥스웰은 변화하는 전기장이 자기장을 유도한다는 사실을 알아냈다. 이처럼 전기장의 변화를 전류로 간주하기 위해 나온 개념이 '변위 전류'다.

교류 전원에 연결된 평행판 축전기

축전기의 두 도체판 사이로는 전자가 이동하지 않는다. 그럼에도 불구하고 축전기 사이에 자기장이 생기는데, 이 자기장의 크기는 전류가 흐르는 도선 주위에 생기는 자기장 크기와 똑같다. 이는 교류 전압에 의해 도체판에 전자가 충전되고 방전되는 반복 과정이 마치 전류가 흐르는 것과 같은 효과를 나타내는 것으로 해석된다. 그때의 전기장 변화를 전류로 간주할 수 있으며 이를 '변위 전류 Id'라 한다.

 

2) 변위 전류의 크기

변위 전류는 다음과 같이 정의된다.

 

3) 암페어 법칙의 수정

맥스웰은 암페어 법칙에 변위 전류 항을 포함하여 식을 수정하였다.

 

내용 체크 문제

원형 극판의 지름이 R인 평행판 축전기가 대전되면 극판 사이에서 변위 전류의 전류 밀도 크기는 J로 균일하다. (극판 면적 A일 때, 전류밀도 J=I/A )

(1) 극판 사이에서 대칭축으로부터 R/4인 곳에 생기는 자기장의 크기

 

 

 

(2) 극판 사이에서 dE/dt

 

 

 

 

패러데이와 맥스웰의 발견이 가지는 의의

패러데이의 '전자기 유도'와 맥스웰의 '변위 전류'는 전자기장의 본질에 대한 중요한 함의를 갖고 있다.

이전까지는 전자기장이 존재하기 위해 전하가 필요하다고 생각했다. 전하 주위에 전기장이 정의되고, 전하가 움직여야 주위에 자기장이 정의되기 때문이다.

 

그러나 패러데이의 '전자기 유도'는 전하와 관계없이, 전기장의 원인이 자기장이고, 맥스웰의 '변위 전류'는 전하의 움직임과 관계없이, 자기장의 원인이 전기장임을 알려주었다. 즉, 패러데이와 맥스웰의 발견으로 전기장과 자기장은 서로가 서로의 원인이자 결과인 뫼비우스의 띠와 같은 존재로써, 전자기장은 전하와는 별개로 항상 존재하는 독립적 개체임이 알려진 셈이다.

 

2. 맥스웰 방정식

 

1) 맥스웰 방정식의 의미

맥스웰은 쿨롱, 가우스, 앙페르, 패러데이가 발견한 전자기 법칙들을 수학적으로 체계화하여 통일된 형태, 맥스웰 방정식을 만들었다.

 

맥스웰 방정식의 적분형(왼쪽)과 미분형(오른쪽)

 

맥스웰 방정식 해석

첫 번째는 전기장에 대한 가우스 법칙으로, 전기력선들이 양전하에서 시작되어 음전하에서 끝나는 것을 의미하며 전하 밀도가 만드는 전기장에 관한 내용을 담고 있다. 두 번째는 자기장에 대한 가우스 법칙으로 자기장 B를 폐곡면에 대해 면적분한 값이 항상 0이라는 것을 보여준다. 이는 자기 홀극이 존재하지 않음을 의미한다. (= 자석의 두 극은 절대로 분리가 되지 않는다.) 세 번째는 패러데이의 전자기 유도 법칙으로 변화하는 자기장이 전기장을 만든다는 사실을 보여준다. 네 번째는 암페어 법칙에 변위 전류 항을 추가하여 완성된 식으로 패러데이 법칙과 대칭을 이룬다.

 

2) 맥스웰의 전자기파 예측

잔잔한 연못 위에 돌이 첨벙 떨어지면 주변으로 물결이 이는 걸 볼 수 있다. 이는 돌이 야기한 수면의 왜곡(진동)이 갖는 에너지가 파동의 형태로 퍼져 나가기 때문이다.

전하 주위, 전기적 공간의 왜곡이 전기적 현상을 일으켰고 그 현상이 나타나는 공간을 '전기장'이라 일컬었다.

움직이는 전하 주위에선 전기적 공간의 왜곡이 일으키는 복합적인 작용이 자기적 현상으로 나타났고, 그 자기적 현상이 나타나는 공간을 '자기장'이라 일컬었다. 맥스웰은 전하에 의한 전기장과 자기장의 왜곡이 공간으로 퍼져 나가는 형태가 있을 것이라 보았다.

비오 사바르 법칙에서 정의되기를 자기장의 방향은 전류의 방향(전기장 방향)과 항상 직교를 이루었다. 따라서 전자기적 교란을 야기하는 전기와 자기의 진동은 아래 그림과 같이 서로 수직을 이룬다고 보았다.

전자기적 진동과 전자기파

그렇다면 맥스웰은 전기장과 자기장으로 구성되는 전자기적 교란이 왜 '파동'의 형태로 전파되어야 한다고 보았을까? 

그림 (가)는 위상이 같고 각각의 진동 방향이 전자기파 진행 방향과 수직인 전기장과 자기장 벡터 E, B의 위치에 따른 진폭 그래프이다. 그림 (나)의 점선 직사각형 고리(반시계 방향)에 대한 패러데이 법칙과 그림 (다)의 점선 직사각형 고리(반시계 방향)에 대한 암페어 법칙을 적용하겠다.

파동 방정식

패러데이 법칙과 암페어 법칙에서 유도된 전기장과 자기장의 미분 방정식의 형태가 파동 방정식과 유사하기 때문에 맥스웰은 전자기적 교란을 파동의 형태로 본 것이다. 더 나아가 이 미분 방정식에서 유도되는 전자기적 교란의 속도는 진공에서의 투자율과 유전율에 의해 결정되는데, 이를 대입하면 정확히 299,792,458이란 크기가 나온다. 이는 광속의 크기다.

맥스웰

정리하면 맥스웰은 전기장과 자기장이 서로를 유도하는 과정에서 생기는 전자기적 교란은 파동의 형태이고, 이는 빛의 속도로 전파될 것이라고 예측했다. 이 예측은 철저히 수학적 계산에 기반했다.

 

아름다움의 기반, 대칭성

패러데이와 맥스웰이 전기와 자기를 하나로 통일할 수 있었던 것은 이들이 수학적으로 대칭적인 관계에 있기 때문이다. 맥스웰의 방정식에는 이중성이라는 대칭이 존재한다.  E와 B를 맞바꿔도 맥스웰의 방정식은 달라지지 않는다. 이런 이중성이 존재한다는 것은 전기와 자기가 동일한 힘의 두 가지 측면임을 의미한다. 맥스웰은 E와 B사이의 대칭을 이용하여 전기와 자기를 통일했고, 그 덕분에 19세기 과학은 위대한 도약을 이룰 수 있었다.

 

3. 전자기파

최초로 전자기파를 발견한 헤르츠

이러한 전자기파의 존재는 헤르츠의 실험을 통해 드러나게 되었고 그와 더불어 빛이 전자기파의 한 종류임이 밝혀지게 되었다. 맥스웰의 이론이 현실로 탈바꿈되는 순간이 도래했다.

 

1) 전자기파의 성질

전기장과 자기장이 서로를 유도하며 진행하는 파동을 '전자기파'라 한다. 이때 전기장과 자기장의 진동 방향은 서로 수직이고, 전자기파는 전기장과 자기장의 진동 방향과 수직인 방향으로 진행하는 파동이므로 횡파다. 전자기파는 매질이 없어도 (진공에서도) 진행 가능한 파동이다. 빛의 속력 c는 진공 속의 전기장 E와 자기장 B의 사이에 c=E/B의 관계를 만족한다.

 

E=cB 증명

진공에서의 전자기파 속력 c는 299,792,458m/s이다. 전자기파는 진동수에 따라 서로 다른 특성을 갖지만 속력은 모두 광속으로 같다.

 

2) 전자기파 스펙트럼(분포도)

전자기파는 모든 파장에 연속적으로 걸쳐 있지만, 전자기파 스펙트럼 중 비슷한 성질을 가진 파장의 구간을 정하여 용도에 따라 구분한다.

종류	특징	이용
라디오파	파장이 제일 길어서 회절이 잘 일어나 파동이 구석구석 잘 전달된다.	라디오, TV를 포함한 무선 통신
마이크로파	라디오파보다 파장이 짧으며 많은 정보를 전달	레이더, 휴대 전화 데이터 통신, 전자레인지
적외선	가시광선의 빨간색 빛보다 파장이 길며 마이크로파보다 파장이 짧다. 강한 열작용을 하여 열선이라고도 한다.	적외선 온도계, 적외선 카메라, 리모컨
가시광선	사람이 눈으로 인식할 수 있는 전자기파, 파장에 따라 사람 눈에 다른 색으로 보임.	조명이나 디스플레이
자외선	가시광선의 보라색 빛보다 파장이 짧고 X선보다 파장이 긴 전자기파로 세균의 단백질 합성을 방해하여 살균 작용	살균 및 소독기
X선	자외선보다 파장이 짧고 사람의 몸이나 건물 벽을 투과	X-ray, 공항 수하물 검사, 비파괴검사, 결정구조연구
감마선	핵반응시 방출하는 파장이 매우 짧은 전자기파로 투과력이 매우 강함.	암 치료