[고급물리학] 기하광학 -거울과 렌즈에서의 광학-

 

2022.05.20 - [2022 고급물리학] - [고급물리학] 파동의 중첩에 따른 간섭과 회절

[고급물리학] 파동의 중첩에 따른 간섭과 회절

학습 목표

• 평면거울에서 작도를 통한 상의 종류와 위치를 정량적으로 구할 수 있다.
• 구면 거울에서 작도를 통한 상의 종류와 위치를 정량적으로 구할 수 있다.
• 구면에서의 굴절에 대하여 설명할 수 있다.
• 렌즈에 맺힌 상의 위치를 정량적으로 구할 수 있다.
• 거울과 렌즈를 이용한 현미경과 망원경의 원리를 설명할 수 있다.

물리학 전개도

기하 광학은 빛이 선을 따라 직진하는 것으로 간주하고 반사, 굴절 등의 현상을 이용하여 거울이나 렌즈에서의 상의 형성에 대해 연구하고 이용하는 분야이다. 특히 스마트폰용 카메라, 일반 카메라, 현미경, 망원경 등의 광학 기기에서 많이 사용되는 렌즈를 잘 설계, 제작하는 기술은 부가가치가 높은 영역이다.

 

1824년에 최초로 사진기를 이용하여 상을 찍어냈을 때에는 단지 신기한 실험에 불과했지만, 오늘날 사진은 생활의 일부가 되었다. 큰 산업으로 발전한 텔레비전, 컴퓨터 그리고 영화 산업은 광학적 영상을 그 매체로 한다. 인공위성이 보내주는 사진은 군사적으로 중요할 뿐 아니라, 환경문제를 연구하는 데에도 도움을 준다. 감시용 카메라는 범죄를 줄이는 데에 공헌했지만, 사생활 침해라는 또 다른 문제를 낳았다. 생물학자와 의공학자들은 망막에 맺힌 상이 어떻게 뇌에서 시각정보로 해석되는지 아직 정확히 이해하지 못하지만 뇌의 시각중추에 전기적 자극을 가함으로써 맹인들이 마음속에 상을 만들어 내도록 하는 데에 성공했다.

 

이 단원에서는 평면과 곡면 거울에서 상의 위치와 볼록 렌즈와 오목 렌즈에 맺힌 상의 위치를 반사와 굴절 법칙을 이용하여 구하는 방법에 대해 알아보고, 현미경, 망원경 등 광학 기구들의 특성에 대해 배운다.

 

1. 거울 - 반사에 의한 상의 형성

우리는 빛을 직진하여 오는 것으로 인식한다. 우리의 감각 기관은 빛은 꺾이거나 반사되며 진행한다고 인식하지 않고 단지 어딘가에서 직진하여 오는 것으로 인식한다.

이 경우에는 반사된 빛살로부터 시각 정보를 얻기 때문에 실제 물체의 위치와 인식한 위치는 다를 수 있다.

 

기본 전제 [반사의 법칙: 입사각=반사각]

반사의 법칙

1) 평면거울

거울에 보이는 물체는 거울 뒤에 있는 것처럼 보인다. 하지만 사실 거울 뒤에는 아무것도 없고 상은 인식 속에 존재할 뿐이다. 이런 상을 '허상'이라 하며, 이때 상이 똑바로 서있기 때문에 우리는 거울에 의한 상을 '정립 허상'이라고 한다.

영화관 스크린에 맺힌 실상

반대로 '실상'은 종이나 스크린에 실제로 맺힌 상을 의미하며, 실상은 허상과 달리 인식여부와 상관없이 실제로 존재한다.

 

2) 구면 거울

 

①오목 거울

거울에 평행하게 입사하는 광선이 거울에서 반사하면 한 점으로 모이게 되는데 이 점을 '초점'이라 하고 실제 광선이 지나는 초점을 '실초점'이라 한다. 이때 거울의 곡률반경 R(=구면 거울 반지름)은 초점(f)의 두 배이다.

 

R=2f (R:곡률반경, f: 거울에서 초점까지 거리)

 

초점 위치를 기준으로 물체가 어디에 있는지에 따라 어떠한 상이 생기는지 작도를 통해 알아보자.

 

작도 규칙 -반사-

오목거울에 의한 상

ⓐ평행하게 입사한 광선은 거울에서 반사한 뒤 초점을 향해 지나간다.

ⓑ초점을 향해 입사한 광선은 거울에서 반사한 뒤 평행하게 지나간다.

 

②볼록 거울

 

평행 광선이 거울에서 반사하게 되는데 이때 반사 광선의 연장선이 모이는 점이 초점이고 이 초점은 가상의 선이 모이는 점이므로 '허초점'이라 한다. 이때도 초점거리(f)와 곡률반경(R)의 관계는 R=2f이다.

볼록거울에 의한 상은 초점을 기준으로 어느 곳에 있든 항상 축소된 정립 허상이다.

 

3) 거울 방정식

p= 거울의 중심에서 물체까지의 거리

q= 거울의 중심에서 상까지의 거리

R= 곡률 반경

f= 초점거리

h= 물체의 높이

h'= 상의 높이

M= 배율

 

거울 방정식  1/p + 1/q = 1/f  ( R=2f )

 

부호 규칙

	+	-
물체 거리	실물체	허물체
상 거리	실상	허상
초점	실초점	허초점
수직높이(물체, 상)	정립	도립

p(물체의 위치), q(상의 위치), f(초점) 모두 실제 빛이 진행하는 공간에 있으면 양수 값을 가지고 그렇지 않으면 음수 값을 가진다.

 

①부호 규칙 적용 - 평면거울

평면거울의 곡률 반경은 ∞이기 때문에 초점도 ∞가 된다. 따라서 거울 방정식을 통해 평면거울에서의 상과 물체의 수평 거리가 똑같다는 걸 알 수 있다.

 

②부호 규칙 적용 - 볼록거울

볼록거울은 허초점을 가지므로 부호 규칙에 따라 초점 부호가 -이다. 따라서 상의 부호는 -가 나올 수밖에 없어서 부호 규칙에 따라 볼록 거울에 의한 상은 허상이다.

 

③부호 규칙 적용 - 오목거울

오목거울은 물체의 거리에 따라 허상이 나올 수 있다. 역시 거울 방정식으로 설명이 가능하다.

물체가 초점 바깥에 있을 때

q가 양수값이므로 부호 규칙에 따라 q는 실상이다.

 

 

물체가 초점 안에 있을 때 

q가 음수값이므로 부호 규칙에 따라 q는 허상이다.

 

2. 렌즈 - 굴절에 의한 상의 형성

 

빛이 굴절되어 오는 경우에도 감각 기관은 이 빛이 직진해서 온다고 인식한다. 이 경우에는 굴절된 빛살로부터 시각 정보를 얻기 때문에 실제 물체의 위치와 인식한 위치는 다를 수 있다. 이처럼 굴절된 빛조차도 우리 시각 기관은 직진되어 오는 빛으로 인식한다. 이러한 굴절 현상을 이용한 광학기기 렌즈에 대하여 알아보자.

 

기본 전제 [스넬의 법칙]

 

1) 볼록렌즈

볼록렌즈에 평행하게 입사한 빛은 초점을 향해 모인다. 볼록렌즈에 평행하게 입사한 빛이 실제로 모이는 점이기 때문에 실초점이다. 볼록렌즈에 의해 생기는 상을 작도해 보자.

 

작도 규칙 -굴절-

ⓐ평행하게 입사한 광선이 렌즈를 지나 초점을 향해 간다.

ⓑ초점을 지나는 광선은 렌즈를 지나면 축과 평행하게 나아간다.

ⓒ렌즈의 중심을 지나는 광선은 쭉 직진한다.

 

 

2) 오목렌즈

평행 광선이 굴절한 광선의 연장선이 모이는 점이 초점이고, 이때는 가상의 선이 모이는 것이기 때문에 오목렌즈의 초점은 허초점이다. 오목렌즈에 의해 생기는 상을 작도를 통해 알아보자.

오목렌즈에 의해 생기는 상은 언제나 축소된 정립 허상이다. 그 이유는 오목렌즈의 초점이 허초점(f<0)이라서 그렇다.

렌즈 방정식

렌즈에서도 거울 방정식과 똑같은 관계식(1/a + 1/b = 1/f)이 성립된다.

 

a= 렌즈의 중심에서 물체까지의 거리

b= 렌즈의 중심에서 상까지의 거리

f= 초점거리

 

부호 규칙

	+	-
물체 거리	실물체	허물체
상 거리	실상	허상
초점	실초점	허초점
수직높이(물체, 상)	정립	도립

부호규칙에 따라 오목렌즈의 f는 음수이다. 따라서 상까지의 거리가 음수가 나올 수밖에 없고 그렇기 때문에 항상 허상이 생기는 것이다.

 

3) 렌즈에서의 배율

y0=물체 높이, y1=상 높이, a=렌즈에서 물체까지 거리, b=렌즈에서 상까지 거리

 

4) 구면에서의 굴절

서로 다른 굴절률을 가지고 있는 두 가지 광학 물질 사이의 경계면이 구형일 때의 굴절에 대하여 알아보자. 이러한 굴절은 사람 눈의 각막과 같은 곳에 직접 적용할 수 있으며, 두 개의 구면으로 이루어진 렌즈에서 굴절을 해석하는 발판이 된다.

 

5) 렌즈 제작자 공식

제1면에 의한 상(b1)이 제2면에서의 물체(a2)가 될 수 있다. 이때 'a2=-b1'이 되는 이유는 다음과 같다.

제1면에 의한 상은 굴절 광선 쪽에 있으므로 b1은 양의 값이지만, 이 상을 제2면에 대한 물체로 간주하면 이땐 제2면 입사 광선 쪽에 있지 않으므로 허물체가 되기 때문에 a2는 음의 값이다.

 

3. 두 개의 렌즈로 이루어진 복합 렌즈계

렌즈 1에 의해 만들어진 상(P'1)이 두 번째 렌즈의 물체 역할을 한다. 이 상황에서는 상이 렌즈 2를 기준으로 빛이 들어오는 방향의 반대쪽에 생겼으므로(허물체) 물체의 거리를 음수로 둬야 한다.(만약 상이 렌즈 2를 기준으로 빛이 들어오는 방향 앞쪽에 생겼다면 P가 양수이다.)

 

 

1) 현미경

a=대물렌즈에서 물체까지의 거리, b=대물렌즈에 의한 상 거리, fob=대물렌즈 초점거리, fey=대안렌즈 초점거리

현미경은 매우 작은 물체를 크게 보기 위해 사용하는 광학기기이다. 그림에서 보다시피 현미경은 두 개의 볼록렌즈로 이루어진 복합 렌즈계다. 물체를 fob와 근사한 위치에 두면 (a=fob) 대물렌즈에 의한 상(F'1)이 fey 근처에 생기며 이때 최종 상은 명시 거리에 확대된 정립 허상(I')이 생기게 된다.(상 I를 기준으로 정립이고 허상이다. 실제 물체에 대한 기준이 아님!) 명시 거리는 사람의 눈이 가까이 볼 수 있는 최소거리를 의미하고 이때 명시 거리가 보통 25cm이다. 

 

복합 렌즈의 배율은 각각의 배율을 곱한 값과 같다. 'M(복합 렌즈 배율) = m1m2'

따라서 현미경의 배율은 M = -b/fob * 25cm/fey이다.

 

2) 망원경

f1=대물렌즈의 초점거리, f2=대안렌즈의 초점거리

망원경은 매우 멀리 있는 물체를 보기 위한 광학기기이다.  무한히 먼 곳에서 입사하기 때문에 평행 광선으로 가정할 수 있으며 대물렌즈 초점거리에 상이 맺힌다. 이때 대안 렌즈에 의한 상이 무한히 먼 곳에 맺히게 되므로 엄청나게 크게 보일 것이다.