[고급물리학] 특수 상대성 이론(시간과 공간의 상대성)

2022.05.18 - [2022 고급물리학] - [고급물리학] 변위 전류와 맥스웰 방정식

[고급물리학] 변위 전류와 맥스웰 방정식

상상

돌촉을 붙인 창으로 매머드를 사냥하던 인류는 이제 우주선으로 태양계를 탐사할 수 있게 됐다. 그 비결은 무엇이었을까? 호모데우스의 저자 유발 하라리는 오늘날 인간이 이 행성을 지배하고 우주를 탐사할 수 있었던 건 인간 개인이 침팬지나 늑대보다 훨씬 더 영리하고 손놀림이 민첩해서가 아니라 '보이지 않는 것을 생각하고 상상할 수 있는 능력'에 있다고 말했다.

국가, 종교, 화폐 모두 상상의 질서에 대한 우리의 믿음에 기반한다. 그것은 우리의 상상 속에서만 존재하는데도 불구하고 우리가 중력처럼 실재하고 어길 수 없다고 믿는 일군의 규칙들이다. 이런 모든 것들을 상상하지 못하고 믿지 못했다면 우리는 정교한 뇌와 능란한 손으로 우라늄 원소가 아니라 아직도 부싯돌을 쪼개고 있을 것이다.

눈에 보이지 않고 손에 잡히지 않는 시간과 공간의 관계를 오로지 데이터와 직관적 상상만으로 이론 체계를 고안한 아인슈타인의 이야기로 이 단원을 시작한다.

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학습 목표

• 특수 상대성 이론의 탄생 배경과 기본 가정에 대해 설명할 수 있다.
• 특수 상대성 이론을 바탕으로 시간 지연, 길이 수축, 동시성의 상대성에 대해 사고 실험을 통해 설명할 수 있다.

물리학 전개도

1. 광속 불변 원리

시간은 '과거 - 현재 - 미래'의 순서로 흐른다. 우리는 이처럼 시간의 흐름을 1차원 직선형으로 생각하지만 엄밀히 따지면 우리에게 시간은 0.5차원이다. 시간은 과거에서 미래로만 흐르기 때문이다. 

 

이러한 시간은 물리학에서 변수 t로 정의되어 수식 안에 상존해 있다. 물체의 거시적 상황을 표현하는 에너지와 운동 특성은 물체의 질량 m과 물체에 가해지는 힘 F 그리고 시간 변수 t를 활용하여 도출되는 결과값으로 표현할 수 있다. 그 기저에 있는 식이 바로 'F=ma'이다. 만물의 운동을 기술하는 기준으로써 'F=ma'가 중요한 의의를 가질 수밖에 없는 이유다.

 

1) 관성계

정지한 물체를 바라보는 두 종류의 관찰자가 있다. 정지한 관찰자 입장에선 물체가 그대로 정지해 있고, v로 움직이는 관찰자 입장에선 물체가 반대 방향으로 v만큼 움직인다. 어떤 관찰자인지에 따라 물체의 속도가 다르게 보이겠지만, 두 물체에게 작용하는 힘이 0이라는 사실까지 달라지는 건 아니다.(물체가 정지해 있거나 등속 운동을 한다는 건 그 물체에 작용하는 힘 F가 0이기 때문이다.)

 

즉, 정지한 관찰자와 등속 운동하는 관찰자가 바라보는 세상에 속한 물체들에겐 동일한 물리 법칙이 적용된다. 이처럼 'F=ma'로 물체의 운동을 설명할 수 있는 '정지한 세상'과 '등속 운동하는 세상'을 '관성계'라고 하며, 서로 다른 관성계에서 운동 법칙이 동등하게 적용됨을 '갈릴레이의 상대성 원리'라 한다. 뉴턴은 이 원리를 바탕으로 운동 법칙을 수학적으로 완성할 수 있었다. 

4m/s로 움직이는 물체는 정지한 관찰자 입장에선 4m/s로 등속 운동하는 것처럼 보이고, 1m/s로 등속 운동하는 관찰자에겐 4-1=3m/s로 등속 운동하는 것처럼 보인다. 어떤 관찰자가 보아도 물체가 등속 운동하고 있으므로 물체에 힘이 작용하지 않음을 F=ma로 설명할 수 있다.

 

그런데 물체와 관찰자의 속력이 광속에 가까워지면 기묘한 현상이 벌어지게 된다.

 

2) 마이켈슨과 몰리의 실험

빛이 c라는 속력으로 오른쪽 방향으로 진행하고 있다. 정지한 관찰자 입장에선 빛의 속력이 c로 보인다. 위와 같은 원리라면 0.5c라는 속력으로 등속 운동하는 관찰자 입장에선 빛의 속력이 오른쪽으로 0.5c 만큼의 빠르기로 진행하는 것처럼 보여야 한다. 반대로 관찰자가 서쪽 방향으로 0.5c만큼의 빠르기로 움직이고 있다면 빛은 1.5c의 빠르기로 움직이는 것처럼 보일 것이다.

 

그러나 맥스웰의 방정식은 '당신이 아무리 빠르게 내달려도 절대로 빛을 따라잡을 수 없으며, 당신 눈에 보이는 빛의 속도는 항상 똑같다'라고 단언하고 있었다. 진공에서의 투자율과 유전율은 관측자의 운동 여부와 관계없는 상수값이기 때문이다.

맥스웰 방정식을 이용한 전자기파 파동 방정식

 

비슷한 시기에 진행되었던 마이켈슨과 몰리의 실험은 여기에 쐐기를 박는다.

(좌)마이켈슨, 마이켈슨과 그의 조수 몰리의 실험 장치

빛은 간섭과 회절을 하기 때문에 파동이었다. 파동이 전파하기 위해서는 '매질'이 필요하다. 용수철 파동의 매질은 용수철, 줄 파동의 매질은 줄, 수면파의 매질은 물, 음파의 매질은 공기, 지진파의 매질은 지각이다. 그렇다면 전자기파라는 파동도 매질이 있어야 한다는 결론에 다다르게 된다. 

태양으로부터 출발하여 지구로 도달하는 빛

따라서 19세기 과학자들은 '에테르'라는 물질이 우주를 가득 채우고 있고, 이 '에테르'를 매질 삼아 태양에서 발생한 빛이 지구로 전파되는 것이라 보았다. 마이켈슨과 몰리는 이 에테르의 실재 여부를 파악하기 위해 실험을 한 것이다.

마이켈슨이 고안한 간섭계의 원리는 간단하다. 광원에서 나온 빛이 splitter에서 분리가 되어 각각의 파가 거울에 반사되어 다시 투과와 반사를 거치게 된다. 그래서 최종적으로 detector에 도달하기까지 두 빛 간 경로차가 존재하게 된다. 간섭계를 지나는 두 빛의 경로차는 2(d-L)이다. 경로차는 곧 위상차를 의미하는 것이기에 두 빛은 만나 중첩하여 detector에 간섭무늬를 만든다. d와 L을 조절하다 보면 밝은 무늬와 어두운 무늬가 번갈아가며 스크린에 표현될 것이다.

우주를 가득 채우고 있는 에테르는 정지해 있고, 지구는 항시 움직이고 있다. 따라서 에테르는 지구에 대해 상대적으로 움직인다. 왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이 에테르의 상대적 운동 방향이 오른쪽을 가리킨다고 가정하자. 이 에테르 바람의 방향에 따라 두 빛의 진행 경로가 달라진다. 강물이 흐르는 방향에 따라 배의 속력과 운동 방향이 달라지듯이 말이다. 따라서 detector에 도달하는 두 빛의 시간차가 생길 것이고, 그에 따라 이동거리의 차이도 생길 것이다. 따라서 detector에서 간섭무늬가 검출되어야 한다. 그러나 예측한 결과가 나타나지 않았다. 마이켈슨과 몰리의 실험 결과는 두 빛이 동시에 도달함을 의미했다. 이는 마치 흐르는 강물에 역행하는 배나 순행하는 배의 속력이 동일함과 같다. 이런 결과는 흐르는 물이 없는 경우에만 가능하다. 즉 '에테르는 없다'라는 결론에 도달한다. 결국 마이켈슨과 몰리의 실험 결과는 어떤 관찰자가 보든 빛의 속력이 동일함을 암시했다.

 

에테르를 제거한 것은 주의 깊은 추론이 게으른 습관에 대해 거둔 위대한 승리였다. 아리스토텔레스의 용어들을 통해 세계에 대해 생각하는 것은 쉬운 일이었다. 갈릴레이와 뉴턴은 관성계의 상대성을 수립했는데, 그 때문에 물체의 움직임을 관찰하는 것으로는 선호되는 정지 상태를 탐지할 수 없게 됐다. 그러나 자연스러운 것으로서의 정지 개념은 여전히 물리학자들의 마음속에 조용히 숨겨져 있었고, 이는 이론가들이 빛을 전파하기 위한 매질을 필요로 했을 때 다시금 자리를 잡을 여지를 만들어주었다. 오직 아인슈타인만이 에테르를 완전히 제거하는 데 필요한 통찰력을 갖고 있었다. 아인슈타인은 특수상대성이론을 발명함으로써 이를 극복했다. 그는 마이켈슨-몰리 실험은 실패작이 아니고, 맥스웰의 계산은 아주 정확했다고 선언했다.

 

3) 특수상대성이론

1905년 아인슈타인은 마이켈슨과 몰리의 실험 결과와 맥스웰 방정식의 계산 결과를 통해 빛의 속력은 보통의 물체와 달리 관찰자의 운동에 관계없이 항상 일정한 절대적인 무언가라고 생각했다. 그리고 다음과 같은 두 가지 가설을 세웠다.

 

①상대성 원리: 모든 관성계에서 물리 법칙은 동일하다.
②광속 불변 원리: 모든 관성계에서 빛의 속력은 일정하다.

 

이처럼 모든 관찰자에게 보이는 빛의 속력은 항상 똑같아야 하기 때문에 기묘한 현상 세 개가 나타난다. 그걸 하나하나씩 알아보도록 하자.

 

8분 19초

뉴턴의 중력 이론과 아인슈타인의 특수상대성이론은 양립할 수 없다. 어느 순간 태양이 갑자기 사라진다면, 지구에서 그 부재를 느낄 때까지 아인슈타인은 8분 19초(태양에서 지구까지 빛이 이동하는 시간)가 걸린다고 주장한다. 그러나 뉴턴의 중력방정식은 빛의 속도에 대해 아무런 언급이 없다. 즉, 뉴턴은 어느 순간에 태양이 사라지면 지구에서는 그 즉시 태양의 부재를 느낄 수 있다고 생각했다. 이것은 '그 어떤 물체나 신호도 빛보다 빠르게 이동할 수 없다'는 특수상대성이론의 제1계명에 위배된다

 

2. 동시성의 상대성

보통 어떤 사건이 '동시에 발생'했다고 하면 그 사건을 관찰하는 사람이 운동을 하든 정지해 있든 상관없이 모두가 그 사건은 동시에 발생했다고 생각하기 마련이다. 왜냐면 시간은 모든 관찰자에게 동일하게 흐르기 때문이다. 달리는 철수에게나 가만히 앉아 공부하는 영희에게나 1년은 365일로 같은 이치다. 이처럼 일상생활에서는 시간의 흐름이 절대적이었기 때문에, 속도가 상대적이었다. 하지만 빛의 속력에 근접할 정도로 빨리 움직이는 상황에서는 말이 달라진다.

 

1) 민수의 생각

우주선 안에 있는 민수 입장에서는 자기도 0.5c의 속력으로 오른쪽으로 가고 있고, 자기가 타고 있는 우주선도 0.5c의 속력으로 오른쪽으로 가고 있으니 민수 자신은 정지해 있다고 생각한다. 우주선 중앙에서 정지해 있는 민수가 빛을 동시에 쏜다. 그러면 각 빛들은 같은 거리를 각각 같은 속력으로 이동하기 때문에 민수 입장에서는 빛이 우주선의 양 끝에 동시에 도달한다고 생각한다. 따라서 민수는 우주선의 양 끝에 동시에 도달하는 빛을 보고 이런 생각을 한다. "이 빛들은 동시에 발생했군."

 

2) 영희의 생각

지구에 있는 영희 입장에서는 우주선이 오른쪽으로 0.5c의 속력으로 움직이고 있다. 그리고 영희 입장에서 본 빛들은 오른쪽으로 진행하건 왼쪽으로 진행하건 속력의 크기가 c로 같아야 한다. 따라서 영희 입장에서는 우주선 왼쪽 끝에 빛이 먼저 도달하고 이후에 우주선 오른쪽 끝에 빛이 도달한다고 본다. 따라서 영희는 이런 생각을 한다. "왼쪽에 도달한 빛이 오른쪽에 도달한 빛보다 먼저 발생했군."

 

3) 결론

어떤 이에게 동시에 발생한 사건이지만 또 다른 누군가에겐 동시에 발생한 사건이 아닐 수 있다.

이처럼 광속으로 움직이는 세계에서는 시간의 흐름이 상대적이게 돼 버린다. 그 이유는 빛의 속도가 절대적이기 때문이다. 이와 유사하게 시간의 흐름이 뒤틀릴 수 있는 또 다른 사례를 알아보자.

 

시간은 날씨와 같다

충분히 멀리 떨어져 있는 두 장소에서 각각 다른 사건이 일어난 경우, 어떤 사건이 '먼저' 일어났는지를 논하는 것은 대개 무의미하다. 예를 들어 안드로메다 은하에서 무슨 일이 어떤 '시점'에 일어났는지를 묻는 것은 아무런 의미가 없다. 시간이 모든 곳에서 동일하게 흐르는 것이 아니기 때문이다. 우리에게는 우리의 시간이 있고, 안드로메다 은하에는 안드로메다 은하의 시간이 있다. 안드로메다의 외계인과 신호를 주고받는 데 소요된 수백만 년의 시간 동안, 안드로메다에 지구의 '오늘'에 상응하는 특정한 순간이 존재한다고 할 수는 없다. 두 장소는 물리적으로도, 시간적으로도 단절되어 있는 셈이다. 

 

말하자면 시간에 대해 생각할 때 우주의 일생에 맞춘 우주 시계가 존재하는 것처럼 여겨서는 안 된다는 것이다. 우주 속의 모든 물체는 각각의 고유한 시간을 가지고 있으므로, 시간에는 지역적인 조건이 있다고 봐야 한다. 마치 일기예보 같은 상황이다. 각 지역마다 다르게 나타나는 날씨처럼 시간도 그렇다는 것이다. 

 

3. 시간 지연

민수와 영희는 빛이 우주선의 위아래를 왕복하는 데 걸리는 시간을 측정했다. 이때 빛의 속력은 영희가 보든 민수가 보든 c로 일정하다. 

 

1) 민수의 생각

민수가 보는 빛의 이동 경로는 2l이다. 이때 왕복 시간△t는 2l/c이다.

 

2) 영희의 생각

영희가 보는 빛의 이동 경로는 대각선 길이 2l'이다. 2l보다 길다. 그래서 빛이 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간 △t'는 2l'/c 이다. 

 

3) 결론

영희가 측정한 빛의 왕복 시간을 5초라고 가정한다면, 민수가 측정한 빛의 왕복 시간은 5초보다 작을 것이다. 대충 3초라고 가정하겠다. 왜 이런 일이 일어난 걸까? 민수처럼 움직이는 세상에서는 '시간의 간격'이 늘어났기 때문이다. '시간의 간격'이 늘어났다는 건 시간의 흐름이 느려진 거다. 영희 세상에선 '똑딱'거렸을 시간 간격이 민수 세상에선 '또옥~따악'으로 늘어난 거다. 시간이 느리게 흐르다 보니 5초 걸릴 시간이 3초가 된 것이다. 즉 영희에 대해 움직이고 있는 민수의 시간은 느리게 흐른다. 이처럼 정지한 관찰자가 보는 움직이는 물체에서의 시간은 느리게 흐른다. 이를 '시간 지연' 현상이라고 한다. '시간 지연'을 '시간 팽창(=시간 간격의 팽창)'이라 부르는 책도 있으니 참고해라.

 

4) 갈릴레이의 상대성 원리

영희 입장에서는 철수가 움직이고 있으니 철수의 시간이 느리게 간다. 하지만 철수 입장에서는 영희가 움직이는 것처럼 보이지 않겠는가? (갈릴레이의 상대성 원리) 그래서 철수 입장에서는 영희의 시간이 자기의 시간보다 느리게 간다. 포인트는 '누가 보냐에 따라 움직이는 물체의 운동 상태가 결정되고, 관찰자가 보기에 움직인다고 판단되는 물체의 시간이 느리게 흐르는 걸로 측정된다.'이다.

 

쌍둥이 역설

쌍둥이 중 한 명(A)은 지구에 남아있고 한 명(B)은 머나먼 행성으로 우주선을 타고 떠난다. B가 지구로 귀환하는 순간 모순이 생긴다. 이 모순은 아래 그림과 같은 논리에서 시작된다.

A의 입장에는 B가 움직이므로 B의 시간이 더 느리게 간다. 따라서 A입장에선 B가 젊어 보여야 한다. 하지만 B의 입장에는 A가 움직이므로 A의 시간이 더 느리게 간다. 따라서 B입장에선 A가 젊어 보여야 한다. 서로가 어려 보인다고 칭찬의 미덕을 뽐내는 훈훈한 광경이지만 슬프게도 한 명만 맞는 말을 하고 있다. 누가 맞는 말일까?

 

특수 상대성 이론의 가정은 '관성계'라는 상황에 한정한다.

 

따라서 특수 상대성 이론으로 설명되는 시간 지연 현상은 '관성계'에서만 관찰되는 현상이다. 지구에 남아있는 A는 정지해 있으므로 '관성계'에 해당하지만, 우주선을 타고 돌아오는 B는 '관성계'가 아니다. 왜? 관성계는 정지하거나 등속 운동하는 계이다. B가 행성을 찍고 지구로 돌아오는 순간 방향을 틀었기 때문에 속도가 변해버렸다.(속도는 방향과 빠르기를 모두 포함한 물리량) B의 세상은 정지도 아니고 등속 운동도 아니기에 관성계가 아니다. 따라서 B의 세상에서는 시간 지연이 나타나지 않는다.

 

4. 길이 수축

움직이는 세상에서 시간이 뒤틀렸다. 광속 불변이라는 가정 때문에 시간이 뒤틀리면 공간도 뒤틀려야 한다. 시간의 흐름이 늘어진 만큼 공간이 수축되어야 빛의 속력이 일정하게 유지됨을 눈치챌 수 있다.

영희 입장에서는 우주선과 민수가 움직이고 있으니 영희가 본 우주선과 민수의 수평 길이는 원래 길이보다 짧게 보인다. 반대로 민수 입장에서는 영희가 움직이고 있으니 영희의 수평 길이는 원래 길이보다 짧게 보인다. (길이 수축은 물체의 운동 방향으로만 일어난다. 따라서 운동 방향에 수직한 방향으로는 길이 수축이 일어나지 않는다.)

 

길이 수축으로 설명하는 전자기력

움직이는 전하들(전류) 사이의 상호 작용은 우리에게 잘 알려진 자기력으로 나타난다. 특수상대성이론은 자기력의 기원을 공간의 수축으로 설명한다.

(b) 같은 방향으로 흐르는 두 전류 사이에는 자기적 인력이 발생한다.

(c) 도선 1의 전자 입장에서 도선 2의 전자도 같은 방향으로 움직이므로 전자는 정지해 보일 것이다. 따라서 전자 입장에선 도선 2의 양전하만 움직이므로 양전하의 간격이 수축이 되는 것처럼 보인다. 따라서 국지적으로 도선 2는 양의 전기를 띠게 되므로 전기적 인력이 발생한다. 

(d) 도선 1의 양전하 입장도 마찬가지다. 전자만 움직이는 것처럼 보이므로 전자 간격이 수축하여 도선 1의 양전하 입장에서 도선 2는 음의 전기를 띠게 되므로 전기적 인력이 발생한다.

 

이러한 해석은 자기력이 전기력과 크게 다르지 않음을 의미한다. 이처럼 전기와 자기 사이의 관계를 새롭게 규명할 수 있었던 것도 특수상대성이론이 자랑하는 또 하나의 업적이다.

 

5. 시간과 공간을 새롭게

아인슈타인의 특수상대성이론에 의하면 시간은 흐르는 강물과 같아서, 장소에 따라 다른 속도로 흐를 수도 있다. 빛의 속력에 근접하는 빠른 속력으로 움직이는 세상에선 시간이 느리게 흘러서 길이가 줄어드는, 시공간이 뒤틀리는 현상이 발생했다. 움직이는 속도가 빠를수록 뒤틀림이 더 심해져서 시간은 더 느리게 가고, 그만큼 길이는 더 짧아지게 된다. 아인슈타인은 더 나아가 '시간과 공간'이란 무대가 변한다면 '질량과 에너지'라는 배우들도 변할 수밖에 없다고 보았다.

시공간과 질량 에너지 등가 원리

 

 

2022.06.03 - [2023 고급물리학] - [고급물리학] 특수 상대성 이론(질량과 에너지의 관계)

[고급물리학] 특수 상대성 이론(질량과 에너지의 관계)