[고급물리학] 전자기 유도와 유도 기전력

2022.04.27 - [2022 고급물리학] - [고급물리학] 자기장에 관한 법칙② -암페어 법칙-

[고급물리학] 자기장에 관한 법칙② -암페어 법칙-

 

학습 목표

패러데이 법칙과 유도 기전력의 방향을 결정하는 규칙인 렌츠 법칙을 설명할 수 있다.

물리학 전개도

과학자들은 전기가 자기를 유도하는 것에 대칭되는 현상을 찾으려고 애썼다. 이후에 패러데이가 자기가 전기를 유도하는 현상 '전자기 유도'를 발견하였다. 중학교에서부터 고등학교에 이르기까지 숱하게 다뤄왔던 개념이라 반가우면서 지겹기도 하겠지만, 6년 동안 끊임없이 '전자기 유도'를 공부하는 까닭은 패러데이의 '전자기 유도'가 물리학 서사에 굉장히 많은 함의를 갖고 있기 때문이다.

 

패러데이의 발견은 전기장과 자기장이 서로 구별되는 다른 현상이 아니고, '전자기장'이라는 하나의 현상에서 기인한 것이라는 통찰을 제공했다. 더 나아가 맥스웰로 하여금 전기와 자기가 상호 작용하며 서로를 유도하는 과정에서 주고받는 신호로써 '전자기파'란 존재를 예측하도록 했다. 그러나 패러데이와 맥스웰의 발견이 대단한 이유는 따로 있다. 바로 전자기장이 전하와 개별적으로 존재하는 독립적 개체라는 힌트를 제공함으로써 '장(field) 이론'의 초석을 다졌다는 것이다. 훗날 '장(field) 이론'은 아인슈타인으로 하여금 중력의 비밀을 파헤치는 데 큰 도움을 주게 된다.

 

1. 패러데이 법칙

패러데이는 코일에 자석을 넣었다 뺐을 때 검류계 바늘이 움직이는 것을 발견했다. 검류계 바늘이 움직인다는 건 코일에 연결된 전선에 전류가 흐른다는 걸 의미한다. 이는 자석의 자기장이 코일에 흐르는 전류를 유도한 결과임에 틀림없다. 이때 패러데이는 몇 가지 이상한 상황을 발견했다.

 

①자석이 움직일 때만 검류계 바늘이 움직임

②코일을 더 감을수록, 자석의 이동을 빠르게 할수록, 더 센 자석으로 실험할 경우 바늘이 더 큰 폭으로 움직임

③자석이 코일에 들어갈 때와 나올 때 바늘의 움직이는 방향이 바뀜

 

패러데이는 이 세 가지 상황을 종합하여 자신만의 직관을 발휘하여 다음과 같은 법칙을 완성한다.

패러데이 법칙

 

1) '자석이 움직일 때만 검류계 바늘이 움직임' 해설

전류가 흐른다는 건 회로에 기전력이 있다는 걸 의미한다. 그런데 건전지를 연결하지 않았음에도 불구하고 전류가 흐른다는 건 뭔가가 건전지 대신 기전력 역할을 하고 있음을 뜻한다. 자석을 코일 근처에서 움직였을 때 전류가 흘렀다는 건 '코일 근처의 변화하는 자기장'이 기전력의 역할을 하고, 이 기전력에 의해 전류가 흐른다는 인과 관계를 유추할 수 있다.

 

이때 변화하는 자기장에 의해서 만들어지는 기전력을 '유도 기전력[V]'이라 하고, 유도 기전력에 의해 흐르는 전류를 '유도 전류'라 한다.

 

2) '코일을 더 감을수록, 자석의 이동을 빠르게 할수록, 더 센 자석으로 실험할 경우 바늘이 더 큰 폭으로 움직임' 해설

바늘이 큰 폭으로 움직인다는 건 검류계에 흐르는 전류가 커졌음을 의미한다. 전류의 세기가 커졌다는 건 전압(유도 기전력)이 커졌다는 걸 뜻한다. 따라서 유도 기전력의 세기는 코일을 감은 횟수 N에 비례한다.

V∝N

자석을 빨리 움직이면 코일을 통과하는 자속의 변화율이 커진다. 따라서 유도 기전력의 세기는 자속의 변화율에 비례한다. 

V∝△Φ/△t  (Φ: 자속)

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자속 보충 설명

자기 선속을 자속이라 한다. 전기 선속과 마찬가지로 자기 선속은 임의의 곡면을 통과하는 자기장 벡터와 면적 벡터의 스칼라 곱으로 정의된다.

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위의 해설들을 통합하면 아래 식과 같다.

그렇다면 패러데이 법칙의 (-) 부호는 무엇을 의미할까? 이는 '③자석이 코일에 들어갈 때와 나올 때 바늘의 움직이는 방향이 바뀜'과 관련되어 있는 내용이다.

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※기전력 보충 설명(기전력 vs 전압 vs 전위차 vs 전위)

전위 = 전기력에 의한 퍼텐셜 에너지

전위차 = 두 지점의 전위 차이, 통상적으로 '전압'이란 단어로 사용됨

 

기전력은 전류를 흐르게 하는 원동력이다. 기전력은 힘으로 보기 보다는 '전위차를 만들어내는 능력'으로 봄이 옳다. 따라서 많은 경우의 전기 회로에서 전압 또는 전위차와 같은 의미로 쓰이며 단위도 전압의 단위인 [V]를 사용한다. 반면에 유도 기전력은 전위차로 보면 곤란해진다. 왜 그럴까? 일단 전기력이 보존력임을 짚고 시작하자.

자기장이 변하면 반지름 r인 구리 고리에 생기는 유도 기전력에 의해 유도 전류가 흐른다. 그림 (b)에 원궤도 위의 네 점에서의 전기장을 표시했다. 전하 q가 원 궤도를 따라 한 바퀴 돌 때 유도 전기장이 한 일을 정의해 보자.

닫힌 고리를 따라 전기장을 선적분하면 원래 위치로 되돌아오기 때문에 적분값이 0이 되어야 한다. 이는 전기장이 전하에 아무런 일을 하지 않기 때문에, 결과적으로 전하는 정지해있어서 전류가 흐르지 않아야 함을 뜻한다. 그러나 전류는 명백히 흐른다. 아래와 같은 식의 패러데이가 정의한 유도 기전력 때문이다.

유도 기전력

이는 유도 전기장을 선적분한 값이 0이 돼서는 안 됨으로 귀결된다.

이는 유도 전기장이 보존력장이 아님을 의미한다. 보존력장이 갖추어야 할 수학적 조건 '닫힌 곡선에 대해 선적분한 값이 0이어야 한다.'을 만족시키지 못하기 때문이다. 따라서 유도 전기장은 전하 주위의 전기장과는 성질이 다르다.

 

그림을 통해 직관적으로 일반적인 전기장과 유도 전기장의 차이를 이해할 수 있다.

(좌)점전하 주위의 전기장 (우)유도 전기장

점전하 주위의 전기장(전기력선)은 위에서 보는 것처럼 절대로 닫힌 고리를 만들지 못한다. 항상 양의 전하에서 시작하여 음의 전하에서 끝난다. 하지만 유도 전기장은 닫힌 고리를 만든다. 

 

유도 기전력은 살짝 관성력과 비슷하다. 비관성계에서 뉴턴 운동 법칙을 적용하기 위해 실재하지 않는 가짜 힘 '관성력'을 도입한 것처럼, 유도 기전력은 기전력의 의미를 갖지 않지만 편의상 단위만 [V]를 붙여주는 물리량이다.

 

2. 렌츠 법칙

운동하는 물체는 계속 운동하려 하고, 정지해 있는 물체는 계속 정지해있으려 한다. 이처럼 물체는 변화를 거부하여 본래의 상태를 유지하려는 '관성'이라는 성질을 가지고 있듯이 자연도 이러한 관성처럼 변화를 거부하여 자신의 상태를 유지하려는 경향이 있다. 전자기 유도 현상이 그런 경우이다.

 

자석의 N극이 코일에 접근하는 경우

자석의 N극이 코일에 가까이 가면 코일은 N극이 접근하는 것을 거부하기 위해 코일의 윗방향을 향하는 자기장을 유도한다. 따라서 자석과 코일 간에 척력이 발생한다. 반대로 N극이 코일에서 멀어지면 코일은 그러한 변화를 거부하기 위해 코일의 아랫방향을 향하는 자기장을 유도한다. 따라서 자석과 코일 간에 인력이 발생한다. 이처럼 전자기 유도는 코일을 통과하는 자속의 변화를 방해하는 방향으로 진행되고, 그러한 자연의 청개구리 성향을 (-)란 부호로 간결하게 표현함이 '렌츠 법칙'의 의의다.

자연이 '렌츠 법칙'이라는 장치를 마련하지 않았다면, 코일에 들어온 자석이 되려 빠른 속력으로 나갈 수 있는 가능성이 생긴다. 이 자석의 운동에너지 증가분은 누구로부터 온 것인가? 전자기 에너지? 그렇다면 이 전자기 에너지의 감소분은 누가 채워주는가? 세상에 공짜는 없다. 자연은 에너지가 보존되지 않는 상황을 애당초 전제하지 않는다.

세상에 공짜는 없다.

에너지는 보존되어야 하기에 자연은 전자기적 상황에서 '렌츠 법칙'이라는 장치를 마련했다고 봐도 무방하다. 그러한 자연의 숭고한 의도를 렌츠는 (-)로 간결히 표시한 것이다.

 

3. ㄷ자형 도선에서의 전자기적 현상 분석

지면 아래를 향하는 균일한 자기장의 세기가 B인 공간에 ㄷ자형 도선이 있고 그 위에 놓인 직선 도선을 일정한 속도를 유지한 채 오른쪽으로 끌어당기고 있는 상황이다. 이렇게 도선을 움직여주면 유도 전류가 흐르게 된다. 이때 전류를 흐르게 하는 기전력은 '운동 기전력'이라고 하는데 이는 엄밀히 따지면 '유도 기전력'과는 다르다. '유도 기전력'은 전기력으로 전하를 움직이는 효과이고, '운동 기전력'은 자기력(로렌츠 힘)으로 전하를 움직이는 효과이기 때문에 완전히 다르다.

'도선이 오른쪽으로 움직이면 전자도 오른쪽으로 움직이게 되고, 이에 따라 자기장과 속도의 벡터곱을 해주고 전자의 부호 (-)를 고려한 전자가 받는 로렌츠 힘의 방향은 아래쪽임을 확인할 수 있다.

 

따라서 이 순간 고리에 흐르는 전류의 방향은 도선 윗 방향, 전체 고리에서 보았을 때 반시계 방향임을 확인할 수 있다. (전류의 방향은 전자의 이동 방향과 반대임을 유의하라.)

 

사실 이 경우는 일정 크기 면적을 통과하는 자기 선속의 변화에 기인한 전자기 유도 현상으로 보아도 무방하다. 이는 도선을 오른쪽으로 움직이면 ㄷ자형 고리를 통과하는 아래 방향의 자기 선속 증가를 방해하는 윗 방향의 자기장이 유도되어야 하고, 이 자기장을 유도하기 위해 반시계 방향의 전류가 흘러야 함을 의미한다.

 

ㄷ자형 도선을 움직일 때의 전자기적 상황을 '전자기 유도'로 치환하여 분석해도 무방함을 다음의 과정을 통해 확인해 보자.

 

1) 고리를 일정한 비율로 끌어당길 때의 역학적 일률

전류 고리를 등속도 v로 당길 때, 도선에 작용하는 외력과 전자기력의 크기는 같다. 그 힘의 크기를 F라 하자. 이때 외력이 하는 일률 P는 Fv이다. (P=W/t)

일률 P를 자기장의 크기 B와 저항 R 너비 L로 표현해 볼 건데, 일단 도선에 흐르는 전류를 정의해 보자.

자기장 영역에 놓인 도선에 전류가 흐르면 도선에 전자기력이 작용한다. 전자기력의 크기 F를 정의하고, 이를 이용하여 외력의 역학적 일률을 구하면 다음과 같다.

 

2) 고리를 일정한 비율로 끌어당길 때의 전기적 일률

고리에 해준 역학적 일률과 정확하게 일치한다. 따라서 자기장에서 전류 고리를 등속으로 당길 때 외부 힘이 한 일은 전류 고리에서 전기 에너지로 바뀌고 그다음에 열에너지로 변환된다.

 

MRI 촬영 중 일어날 수 있는 화상

MRI 촬영 중 패러데이 법칙을 무시하면 환자가 심각한 화상을 입을 수 있다. 전선이 환자의 신체에 닿아 전류 고리가 형성되면 MRI 촬영 중 강하게 방출되는 자기장의 변화가 이 전류 고리에 기전력을 유도하고, 이때 전선을 흐르는 유도 전류는 열에너지로 변환된다. 이런 식으로 전선이 닿은 팔의 피부 부위가 화상을 입게 된다. MRI 관리자들은 탐침이 부착되는 한 군데 이외에는 모니터의 전선이 환자에게 닿지 않도록 철저히 교육받고 있다.