[고급물리학] 축전기

2021.04.22 - [2024 고급물리학] - [고급물리학] 전기장과 가우스 법칙

[고급물리학] 전기장과 가우스 법칙

 

학습 목표

• 평행판 축전기의 직렬연결과 병렬연결에 따른 전기 용량 변화를 계산할 수 있다.
• 평행판 축전기에서 유전체의 역할을 이해하고 평행판 축전기의 전기 용량을 계산할 수 있다.

 

물리학 전개도

용수철과 물체 사이의 중력장에 중력 퍼텐셜 에너지가 저장돼 있듯이 전하 사이의 전기장에 전기 퍼텐셜 에너지가 저장돼 있습니다. 이를 부품화한 게 축전기예요.

 
 
회로에 전류 I 가 흐를 때 저항 R에서 전기 에너지가 열 에너지로 전환됩니다. 이 전환 비율이 손실 전력입니다. 이러한 전기 에너지의 공급원은 회로에 건전지 말고는 없어 보입니다. 건전지에는 화학 에너지가 저장돼 있는데요. 저항 양단의 전위차를 유지하여 회로에 지속적으로 전류 I를 흐르게 하는 능력, 건전지의 기전력은 화학 에너지에서 비롯됩니다. 다시 말해 건전지는 화학 에너지의 형태로 전기 에너지를 저장하는 소자예요.
 
반면에 축전기는 전하를 저장함으로써 전기 에너지를 저장하는 소자입니다. 마치 용수철이 압축됨으로써 탄성 퍼텐셜 에너지가 저장되는 것과 같습니다. 이 축전기 덕분에 전자기기가 작아지고 가벼워질 수 있었어요.

 

판서 조직도

 

1. 축전기

1) 평행판 축전기의 전기 용량

① 전기 용량의 사전적 정의

 

전지를 회로에 연결하여 두 금속판에 전위차를 만들어주면, 축전기의 두 금속판 중 전위가 높은 쪽은 양전하, 전위가 낮은 쪽은 음전하로 대전되어 전하가 저장됩니다. 이때 전위차 V로 얼마나 많은 전하량 Q를 저장할 수 있는지와 관련된 축전기의 전기적 특성을 전기 용량이라고 합니다. 전기 용량의 기호는 C, 단위는 F이라 쓰고 패럿이라 읽습니다.

 

위 식에 따라 두 금속판에 1V의 전위차가 유지될 때, 1C의 전하량을 저장할 수 있는 축전기의 전기 용량을 1F으로 정의합니다. 

 

② 축전기의 물리적 구조와 전기 용량의 관계

A에 비해 d가 너무나 작아 무한 평면판으로 근사, 두 금속판 사이가 진공이어서 진공에서의 유전율 ℇ₀ 를 이용

 

금속판의 면적이 넓을수록 구조적으로 전하가 많이 저장될 수 있고, 금속판 간의 거리가 가까울수록 양 금속판의 (+), (-) 전하는 거리에 반비례하여 강해진 전기력으로 서로를 더 많이 붙들어 맬 수 있게 됩니다. 따라서 축전기의 전기 용량은 금속판의 면적 S에 비례하고, 금속판 사이의 거리 d에 반비례합니다.

 

 

두 금속판 사이가 아무것도 없는 진공 상태라면, 진공에서의 유전율 ℇ₀ 이란 상수를 사용하여 위의 비례식을 다음과 같은 등식으로 만들 수 있습니다.

2) 유전체와 전기 용량

축전기의 전기 용량을 증가시키기 위해서는 금속판의 면적을 넓히거나, 두 금속판 사이의 거리를 가깝게 하는 것 이외에도 두 금속판 사이에 유전체(=절연체)를 집어넣는 방법도 있습니다. 그 이유에 대해 알아봅시다.

 

금속판 사이에 유전체를 넣으면 유전 분극에 의하여 전기장의 세기가 감소합니다. 전기장이 감소하면 V=Ed에 의해 금속판 사이의 전위차도 감소합니다. 이는 축전기에 유전체를 넣기 전과 비교해서 더 작은 전위차 V로도 동일한 전하량 Q를 저장할 수 있음을 의미합니다. 즉, 같은 전위차 대비 충전할 수 있는 전하량이 증가하는 셈이죠.

 

① 전지가 연결된 도중에 유전체를 집어넣은 경우

 

두 금속판 사이의 전위차가 일정하게 유지되는 상황입니다. 전위차가 일정하므로 금속판 사이의 전기장 크기 E(=V/d) 또한 변함이 없어야 해요. 그러나 유전체를 집어넣으면 유전 분극에 의해서 전기장 크기가 작아져야만 합니다. 이 모순을 해소하기 위해 축전기는 더 많은 전하를 충전하여 유전 분극에 의한 전기장 감소분을 상쇄시킵니다. 즉, 같은 전위차 대비 충전되는 전하량이 증가하게 돼 전기 용량이 증가하는 결과가 초래되죠.

 

 

② 전지를 떼어내고 유전체를 집어넣은 경우

 

전지를 떼어냈으니 더 이상 새로운 전하들이 공급되지 않아서 축전기의 전하량이 일정하게 유지되는 상황입니다. 이때 유전체를 집어넣으면 유전 분극에 의한 전기장 감소분이 반영되어 금속판 사이의 전위차가 감소합니다. 그러나 전하량이 고정돼 있는 상황이기 때문에 같은 전위차 대비 충전되는 전하량이 증가하게 되죠.

 

결론은 어떤 상황이 됐든, 축전기에 유전체를 집어넣으면 축전기의 전기 용량은 증가합니다. 유전체를 집어넣은 축전기의 전기 용량의 크기는 다음과 같이 정의됩니다.

 

 

이때 유전율 ℇ은 유전체의 종류에 따라 정해지는 상수값입니다.

 

 

진공일 때와 유전체가 있을 때 전기 용량의 비를 유전 상수라고 합니다.

유전 상수와 유전율

 

2. 평행판 축전기의 직렬, 병렬연결

(오류 정정) 축전기 병렬연결 회로에 전압 V1, V2 위치 바뀜

 

3. 축전기에 저장된 에너지

전하량이 q인 전하를 전위가 0인 곳으로부터 전위가 V인 곳으로 옮기려면 퍼텐셜 에너지의 증가량 qV만큼 일을 해야 합니다. (W = -△U = qV) 이때 한 일이 곧 축전기에 저장될 전기 에너지입니다. 이처럼 축전기의 전기 에너지는 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지와 유사하게 일을 통해 에너지가 저장되는 과정을 거칩니다. 이렇게 축전기에 충전된 전기 에너지는 방전을 통해 축전기에 연결된 장치로 공급됩니다. 

 

비유하자면 축전기는 전기의 용수철이에요. 축전기에 전하가 쌓이면 쌓일수록 전위 V가 커지기 때문에 같은 전하 q를 옮기는 데 더 큰 에너지가 필요하겠죠? 이처럼 용수철을 조금씩 늘릴 때 점점 더 큰 힘이 필요하듯이 축전기에 전하를 차곡차곡 저장해 나가는 과정은 용수철을 늘려가는 것과 같습니다. 이러한 비유적 논리에 착안하여 용수철에서의 상황과 축전기에서의 상황을 비교해 봅시다.

 

	용수철에서의 탄성 퍼텐셜 에너지	축전기에서의 전기 에너지
물리적 상황	용수철이 늘어나거나 압축됨	축전기에 전하가 저장됨
원인	탄성력,	전위,
비유적 대응	탄성력 F ≒ 전위 V ,  변위 x ≒ 전하량 q
일과 에너지

 

그래프 비교

 

축전기에 저장된 에너지의 표현 방식

Electric shock - f(x)

https://www.youtube.com/watch?v=ZpPxx09G8kg

 
전기뱀장어는 자신이 생성한 전기장의 왜곡을 감지함으로써 다른 동물이 어디에 있는지, 그 동물이 어떤 종류인지를 알아냅니다. 그렇기에 어둡고 혼탁한 물속에서도 그 모든 것들의 식별이 가능해요. 이러한 전기뱀장어의 해부학적 구조에 근거하여 이탈리아 물리학자 볼타는 세계 최초로 전지를 설계했습니다.
 
인간 역시 전기뱀장어처럼 전기를 생성합니다. 물론 서로 눈이 맞아 강렬한 스파크가 튈 때의 짜릿함에 미치지 못하는 굉장히 미약한 전기장이죠. 이러한 인간의 생체 전기가 발생할 때는 세포 호흡하는 동안입니다.

 
디테일하게 말하면 ATP와 ADP가 서로 전환되는 과정에서 전자들이 발생하고 재배치되면서 생체 전기가 만들어지는 거예요. 이러한 세포 호흡을 이해하려면 축전기를 떠올리면 됩니다. ATP는 축전기가 충전된 상태이고 ADP는 그 축전기가 방전된 상태라 할 수 있어요. 결국 세포 호흡이 일어나는 미토콘드리아는 전기 에너지를 생산하는 '발전소'인 셈입니다. 과학자들은 훗날 우리 몸에서 자연 발생하는 생체 전기를 이용해 배터리를 충전하는 방법이 등장하리라 전망합니다.
 

내용 체크 문제

 

#1번 해설

#2번 해설