[고급물리학] 전자기 유도와 유도 기전력

2021.05.06 - [2024 고급물리학] - [고급물리학] 자기장에 관한 법칙 {비오 사바르 법칙, 암페어 법칙}

[고급물리학] 자기장에 관한 법칙 {비오 사바르 법칙, 암페어 법칙}

 

학습 목표

 

패러데이 법칙과 유도 기전력의 방향을 결정하는 규칙인 렌츠 법칙을 설명할 수 있다.

 

물리학 전개도

 

패러데이는 자기가 전기를 유도하는 현상 '전자기 유도'를 토대로 전자기 대칭성을 입증합니다. 중학교에서부터 고등학교에 이르기까지 패러데이의 '전자기 유도'를 숱하게 공부하는 이유는 전자기 유도가 물리학 서사에 굉장히 많은 함의를 갖고 있기 때문이죠.

 

전자기 유도는 전기와 자기가 서로 구별되는 다른 현상이 아니고, '전자기장'이라는 하나의 현상에서 기인함을 함의합니다. 이를 토대로 맥스웰은 전기와 자기가 상호 작용하며 서로를 유도하는 과정에서 주고받는 신호인 '전자기파'란 존재를 예측하죠. 그러나 패러데이와 맥스웰의 발견이 대단한 이유는 따로 있습니다. 바로 전자기장이 전하와 관계없이 개별적으로 존재할 수 있는 독립적 개체임을 밝혔다는 것에 있죠. 패러데이와 맥스웰의 발견으로 말미암아 '장(field) 이론'의 초석이 다져지게 됩니다. 훗날 '장(field) 이론'은 아인슈타인으로 하여금 중력의 비밀을 파헤치는 데 큰 도움을 주고요.

 

판서 조직도

 

1. 패러데이 법칙

 

1) 유도 기전력의 크기

 

패러데이는 코일 근처에서 막대자석이 움직일 때 회로의 검류계 바늘 역시 움직이는 걸 발견합니다. 검류계 바늘이 움직인다는 건 코일에 전류가 흐른다는 걸 의미해요. 이는 자기가 전기를 유도한 결과임에 틀림없어요. 이를 비롯하여 패러데이는 몇 가지 이상한 점을 발견합니다.

 

ⓐ 자석과 코일의 상대적 움직임이 있을 때만 검류계 바늘이 움직임

ⓑ 자석(또는 코일)을 빨리 움직이거나, 코일을 많이 감거나, 센 자석을 이용하여 실험할 때 검류계 바늘이 큰 폭으로 움직임

ⓒ 자석이 코일에 들어갈 때와 나올 때 바늘의 움직이는 방향이 반대임

 

패러데이는 이 세 가지 상황을 종합하고 자신만의 직관을 발휘하여 다음과 같은 정량적인 식을 완성합니다.

 

패러데이 법칙

 

수학에 젬병이었던 패러데이

전기력선과 자기력선

가난한 대장장이 수습생의 아들로 태어난 패러데이는 정규교육을 거의 받지 못했기 때문에 수학적인 사고보다 무엇이든 시각화하는 것을 좋아했대요. 전기력과 자기력처럼 눈에 보이지 않는 물리적 실체를 선으로 시각화한 것은 수학을 못하는 패러데이의 성향이 탄생시킨 발명품입니다. 사실 위에서 학습한 '패러데이 법칙'은 패러데이가 만든 것이 아니고 맥스웰이 만들었어요. 전자기 현상에 대한 패러데이의 직관적 이해를 맥스웰이 수학적 언어로 재구성한 거죠. 이 과정에서 맥스웰은 전기와 자기가 서로 얽힌 채 춤을 추면서 파동의 형태로 공간을 가로질러 나아간다는 사실을 예측합니다.

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ⓐ '자석과 코일의 상대적 움직임이 있을 때만 검류계 바늘이 움직임' 해설

건전지가 없음에도 전류가 흐른다는 건 뭔가가 건전지를 대신해 기전력의 역할을 하고 있음을 뜻합니다. 패러데이는 자석과 코일의 상대적 움직임이 기전력의 역할을 한다고 본 거죠. 그는 자기장과 공간의 기하학적 관계를 '자속'이란 개념으로 설명합니다. 자속Φ(=BA)이란 단위 면적을 지나는 자기력선의 수로써 자기장이 지나는 면적(A)에 자기장의 세기(B)를 곱한 값이에요. 자석의 N극이 코일에 가까워지는 상황을 봅시다.

 

N극이 코일에 가까워지는 동안(△t) 코일의 면적 A를 통과하는 자기장의 세기가 변합니다. 처음에는 코일의 면적 A를 통과하는 자기력선이 두 개였지만, 나중에는 네 개로 증가합니다. 같은 면적을 통과하는 자기력선의 수가 많다는 건 그만큼 자기력선이 빽빽이 밀집해 있다, 다른 말로 자기력선간의 간격이 좁다는 걸 뜻하죠. 

정리하면 코일에 N극이 가까이 오는 동안 코일 면적 A를 통과하는 자기장의 세기가 증가합니다. 따라서 자속 Φ이 커지게 되죠. 이러한 시간에 따른 자속 변화(△Φ/△t)가 전압의 역할을 합니다. 반대로 자석이 가만히 있고 코일이 움직이는 경우 역시 시간에 따른 자속 변화가 생긴다는 측면에서 같은 상황입니다. 그러나 코일과 자석이 모두 정지해 있거나, 코일과 자석 모두 같은 방향, 같은 빠르기로 움직이는 경우는 다릅니다. 이는 코일을 통과하는 자기장의 변화가 생길 수 없는 경우이기 때문이죠.

 

즉, 자석과 코일 간에 상대적인 움직임이 있어야만 코일을 통과하는 자속에 변화가 생겨요. 이처럼 변화하는 자속에 의해 만들어지는 기전력을 '유도 기전력'이라고 합니다. 그리고 유도 기전력에 의해서 흐르는 전류를 '유도 전류'라고 해요.

 

ⓑ '자석(또는 코일)을 빨리 움직이거나, 코일을 많이 감거나, 센 자석을 쓸수록 바늘이 큰 폭으로 움직임' 해설

바늘이 큰 폭으로 움직인다는 건 전류의 세기가 커졌다는 걸 의미합니다. 이는 유도 기전력(≒전압)이 커졌다는 뜻이에요. 일반적으로 자석(또는 코일)이 빨리 움직이면 자속의 시간 변화율(△Φ/△t)이 커집니다. 예를 들어 자속이 10만큼 변화하는 데 걸리는 시간이 1초인 경우와 10초인 경우, 당연히 전자의 경우가 시간에 따른 자속 변화율이 큽니다. 달리 말하면 10초 걸릴 걸 1초로 축소시킨 만큼 자석(또는 코일)이 빨리 움직였다는 뜻이죠. 즉, 자석이 빨리 움직일수록 자속의 시간 변화율이 커져서 유도기전력의 세기가 커집니다.  

 

V∝△Φ/△t 

 

더불어 자석이 셀수록 자기장(B)이 크기 때문에 센 자석을 쓰면 같은 시간 동안(△t) 자속 변화량(△Φ, Φ=BA )이 커집니다. 따라서 센 자석으로 실험하면 더 큰 유도 기전력이 생깁니다. 또한 코일을 많이 감을수록 바늘이 큰 폭으로 움직였는데 이는 유도 기전력의 세기가 코일을 감은 횟수 N에 비례한다는 뜻입니다. 

 

V∝N

 

위의 인과 관계를 종합하면 아래 식과 같아요.

 

그렇다면 패러데이 법칙의 부호 (-)는 무엇을 의미할까요? 이는 '자석이 코일에 들어갈 때와 나올 때 바늘의 움직이는 방향이 반대임'과 관련있습니다.

 

MRI 촬영 중 일어날 수 있는 화상

 

MRI 촬영 중 패러데이 법칙을 무시하면 환자가 심각한 화상을 입을 수 있습니다. 전선이 환자의 신체에 닿아 전류 고리가 형성되면 MRI 촬영 중 강하게 방출되는 자기장의 변화가 이 전류 고리에 기전력을 유도하고, 이때 전선을 흐르는 유도 전류는 열에너지로 변환돼요. 이런 식으로 전선이 닿은 팔의 피부 부위가 화상을 입게 됩니다. MRI 관리자들은 탐침이 부착되는 한 군데 이외에는 모니터의 전선이 환자에게 닿지 않도록 철저히 교육받고 있습니다.

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자속

자기 선속을 자속이라 합니다. 전기 선속과 마찬가지로 자기 선속은 임의의 곡면을 통과하는 자기장 벡터와 면적 벡터의 스칼라 곱으로 정의돼요.

 

2) 전지의 기전력 vs 유도 기전력

전위 = 전기력에 의한 퍼텐셜 에너지

전위차 = 두 지점의 전위 차이, 통상적으로 '전압'이란 단어로 사용됨

 

기전력은 전류를 흐르게 하는 원동력입니다. 기전력은 힘으로 보기보다는 전위차를 만들어내는 능력, 에너지로 봄이 옳아요. 많은 경우의 전기 회로에서 기전력은 전압 또는 전위차와 같은 의미로 쓰이며 단위도 전압의 단위인 [V]를 사용합니다. 반면에 유도 기전력은 전위차로 보면 곤란해집니다. 왜 그럴까요? 일단 전기력이 보존력임을 짚고 시작합시다.

자기장이 변하면 반지름 r인 구리 고리에 생기는 유도 기전력에 의해 유도 전류가 흐른다. 그림 (b)에 원궤도 위의 네 점에서의 전기장을 표시했다. 전하 q가 원 궤도를 따라 한 바퀴 돌 때 유도 전기장이 한 일을 정의해 보자.

 

닫힌 고리를 따라 전기장을 선적분하면 원래 위치로 되돌아오기 때문에 적분값이 0이 되어야 합니다. 이는 전기장이 전하에 아무런 일을 하지 않기 때문에, 결과적으로 전하는 정지하여 전류가 흐르지 않아야 함을 뜻해요. 그러나 전류는 명백히 흐릅니다. 아래와 같은 식의 패러데이가 정의한 유도 기전력 때문예요.

유도 기전력

 

이는 유도 전기장을 선적분한 값이 0이 돼서는 안 됨을 의미합니다.

 

이는 유도 전기장이 보존력장이 아님을 의미합니다. 보존력장이 갖추어야 할 수학적 조건 '닫힌 곡선에 대해 선적분한 값이 0이어야 한다.'을 만족시키지 못하기 때문이죠. 따라서 유도 전기장은 전하 주위의 전기장과 다른 성질의 전기장입니다. 그림을 통해 직관적으로 일반적인 전기장과 유도 전기장의 차이를 이해할 수 있어요.

(좌)점전하 주위의 전기장 (우)유도 전기장

 

점전하 주위의 전기장은 위에서 보는 것처럼 절대로 닫힌 고리를 만들지 못합니다. 항상 양의 전하에서 시작하여 음의 전하에서 끝나요. 하지만 유도 전기장은 닫힌 고리를 만듭니다.

 

유도 기전력은 살짝 관성력과 비슷해요. 비관성계에서 뉴턴 운동 법칙을 적용하기 위해 실재하지 않는 가짜 힘 '관성력'을 도입한 것처럼, 유도 기전력은 편의상 단위 [V]를 공유하는 일반적인 기전력이 아닌 가짜 기전력입니다.

 

2. 렌츠 법칙

 

1) 유도 기전력의 방향

③ '자석이 코일에 들어갈 때와 나올 때 바늘의 움직이는 방향이 반대임' 해설

자석의 N극이 코일에 접근하는 경우

 

운동하는 물체는 계속 운동하려 하고, 정지한 물체는 계속 정지해 있으려고 합니다. 변화를 거부하는, 본래의 운동 상태를 유지하려는 성질인 '관성'은 전자기 현상에서도 유효해요. 자석의 N극이 코일에 가까이 오면 코일은 위쪽이 N극, 아래쪽은 S극인 하나의 자석이 되어 다가오는 자석을 척력으로 거부합니다. 반대로 자석의 N극이 코일에서 멀어지면 코일은 위쪽이 S극, 아래쪽은 N극인 자석이 되어 멀어지는 자석을 인력으로 거부합니다. 이처럼 코일은 자석의 움직임을 방해하는 방향으로 자기장을 유도하는데요. 

 

이러한 자기장의 원인은 유도 전류이고, 유도 전류의 원인은 유도 기전력입니다. 즉 자석의 움직임을 방해하는 자기장의 방향은 유도 전류의 방향이 결정하고, 유도 전류의 방향은 유도 기전력의 방향이 결정하죠. 이처럼 자속의 변화를 방해하는 방향으로 유도 기전력의 방향을 결정하는 자연의 습성을 렌츠가 부호 -로 표현한 겁니다.

 

1. N극이 가까이 접근 →  이를 거부(척력) → 유도 전류가 코일 윗방향으로 나가는 자기장(N극) 유도

2.  N극이 멀어짐 →  이를 거부(인력) → 유도 전류가 코일 윗방향에서 들어오는 자기장 (S극) 유도

3. S극이 가까이 접근 →  이를 거부(척력) → 유도 전류가 코일 윗방향에서 들어오는 자기장(S극) 유도

4. S극이 멀어짐 →  이를 거부(인력) → 유도 전류가 코일 윗방향으로 나가는 자기장 (N극) 유도

 

2) 에너지 보존 법칙

자석의 운동 에너지 변화

 

코일 근처에서의 자석의 움직임은 전자기 유도 현상, 정확히 말해 렌츠 법칙에 의해 점차 둔화됩니다. 손실된 운동 에너지(=빨간 막대)는 어떻게 됐을까요? 자석의 움직임이 느려지는 대신 코일에 전류가 흐르고 그 주변에 자기장이 생깁니다. 즉 자석의 운동 에너지 일부는 전자기 에너지로 전환되는 거예요. 만약에 코일이 자석의 움직임을 방해하지 않고 외려 환영했다면 어땠을까요? 자석이 더 빨리 움직이기에 운동 에너지는 전보다 증가한 데다, 자속의 변화에 의해 생긴 전자기 에너지까지 고려하면 에너지 총량이 증가하는 기현상이 발생합니다. 이는 에너지 보존 법칙을 위배하죠.

 

이러한 기현상을 방지하기 위해 자연은 변화를 거부해야만 했어요. 즉, '렌츠 법칙'은 '에너지 보존 법칙'을 전자기 현상에 맞게 각색한 것에 지나지 않아요.

 

3. ㄷ자형 도선에서의 전자기적 현상 분석

 

 

지면 아래를 향하는 균일한 자기장 B에 ㄷ자형 도선이 놓여 있고, 그 위에 놓인 직선 도선이 일정한 속도로 움직이고 있습니다. 이렇게 도선을 움직이면 'ㄷ자형 도선-직선 도선' 고리에 유도 전류가 흐릅니다. 이를 전자기 유도 관점으로 해석하면 다음과 같습니다. 도선이 오른쪽으로 움직이면 고리를 통과하는 아래 방향의 자기 선속 증가를 방해하는 윗 방향의 자기장이 유도되어야 하고, 이 자기장을 유도하기 위해 전류는 반시계 방향으로 흘러야 합니다. 전류의 세기는 다음과 같아요.

 

그러나 이 현상은 엄밀히 따지면 전자기 유도 현상이 아닙니다. 이 경우는 '운동 기전력'에 의한 현상으로써 운동 기전력은 전자기 유도에 의한 '유도 기전력'과는 달라요. 하지만 이 전자기적 상황을 '전자기 유도'로 치환하여 분석한 결괏값이 운동 기전력으로 설명하여 얻어낸 결괏값과 똑같기 때문에 편의상 전자기 유도로 설명하는 겁니다.

 

운동 기전력

 

'운동 기전력'은 로렌츠 힘으로 전하를 움직이는 효과입니다.

 

도선이 오른쪽으로 움직이면 전자도 오른쪽으로 움직이게 되고, 이에 따라 자기장과 속도의 벡터곱을 해주고 전자의 부호 (-)를 고려한 전자가 받는 로렌츠 힘의 방향은 아래쪽임을 확인할 수 있습니다. 따라서 고리에 흐르는 전류의 방향은 도선 윗 방향, 전체 고리에서 보았을 때 반시계 방향임을 확인할 수 있습니다. 전류의 방향은 전자의 이동 방향과 반대임을 유의하세요.

 

시차 - 우원재

https://youtu.be/iJtW3tF2Za4

 

 

"니들이 꿈을 꾸던 그 시간에 나도 꿈을 꿨지. 두 눈 똑바로 뜬 채로"

 

 

지평선 너머 져내리는 태양은 또 다른 누군가에게는 떠오르는 태양입니다. 남들이 꿈을 꾸던 그 시간에, 두 눈을 똑바로 뜬 채로 꿈을 꿔가는 사람도 있습니다. 내 삶이 머물고 있는 시간이 남들과는 다소 다를지라도, 그 시차 속에서 내 삶을 강단 있게 꾸려갈 수 있었던 건, "지금의 내 시간은 남들이 돈 주고 가는 파리의 시간과 다를 바가 없을 만큼 소중하다."와 같은 역발상에서 비롯된 게 아닐까요. 때로는 이러한 역발상이 숨어있던 가치를 드러나게 해 줍니다. 만물을 드러나게 하지만 정작 자기 자신을 드러내지 않고 있었던 빛. 그 빛의 정체가 전기와 자기의 관계를 거꾸로 보았던, 패러데이의 역발상에 의해 드러난 것처럼요.