가속좌표계와 관성력

학습 목표

가속 좌표계에서 나타나는 관성력의 크기와 방향을 설명할 수 있다.

물리학의 흐름

관성계(등속 운동, 정지)에서만 적용되던 뉴턴 운동 법칙이 비관성계에서도 작동하기 위한 도구가 필요하다고 판단한 뉴턴은 '관성력'이란 가짜 힘을 고안하였다. 이로써 관성계에 머물렀던 F=ma 세계관이 비관성계로 넓어지게 됐다. 그런 측면에서 관성력은 충분한 의의가 있다. 그러나, 이 관성력의 의의를 그저 F=ma 세계관 확장으로만 한정했다면 지나칠 정도로 저평가한 셈이다.

 

아인슈타인 시대로 넘어오면서 상대성 이론의 확장과 더불어 공간에 대한 새로운 아이디어를 제공했다는 측면에서 관성력은 더 큰 의의를 갖는다. 일반 상대성 이론 챕터에서 그 흐름에 대해 알아보고자 한다. 

1. 관성계

똑같은 속도로 운동을 하는 두 자동차가 있다고 하자. 자동차의 흔들림이 없고 자동차 안의 사람이 주변 상황을 볼 수 없으며 상대방 자동차만을 볼 수 있다면, 상대방 자동차가 정지해 있는 것으로 생각하게 된다. 자신의 자동차도 움직인다고 생각하지 않을 것이다. 이처럼 등속도 운동하는 좌표계와 정지한 좌표계는 구분이 불가하다. 동쪽으로 시속 60km/h로 등속 운동하는 자동차가 있다면 이게 진짜로 자동차가 움직이는 건지, 자동차를 관찰하는 좌표계가 서쪽으로 시속 60km/h로 등속 운동하는 건지 알 수 없다.

 

더 나아가 각 좌표계에서 일어나는 물체의 운동 역시 동일하다.

트럭 위의 사람이 공을 위로 던지고 있다. 공이 손을 떠나는 순간, 트럭 안의 사람과 트럭 밖에서 정지해 있는 사람이 보는 공의 운동 궤적은 서로 다르다. 그러나 공이 바닥에 떨어지게 되는 결과, 바닥에 닿는 공의 속력과 바닥에 닿는데 걸린 시간은 두 사람에게 똑같이 관찰된다. 왜냐면 이 물체에게 중력이 작용한다는 사실과 물체에 작용하는 힘에 의해 속도가 변화하는 경향은 두 사람에게 동일하기 때문이다. 이처럼 동일한 물리 법칙이 적용되는 두 사람은 각각 정지해있고, 등속 운동을 하고 있으니 이러한 계를 기준계로 설정하고 이를 '관성계'라 하는 것이다. 

2. 비관성계

반면에 가속도 운동을 하는 좌표계는 정체성이 확고해서 구별이 가능하다. 일단 가속도의 방향이 어떠한지를 가늠할 수 있고, 이를 통해 가속좌표계가 관성계가 아님을 말할 수 있다. 그러나 문제점이 있다. 가속 좌표계 안의 관찰자, 관성계 안의 관찰자에 따라 뉴턴 운동 법칙의 일관성이 어그러진다는 것이다. 다음 상황을 보자.

오른쪽으로 가속 운동하는 버스

a로 가속 운동하는 버스에 추가 매달려있다. 이를 관찰하는 두 사람이 있다. 한 사람은 버스 밖, 즉 정지한 좌표계인 관성계에서 관찰하고 있고 한 사람은 버스 안, 즉 가속좌표계인 비관성계에서 관찰하고 있다. 버스에 매달려있는 추에 작용하는 힘과 운동에 대한 이들의 입장을 들어보도록 하자.

 

①관성계의 관찰자 입장

이 사람은 추가 등가속도 운동을 하는 것으로 판단한다.

버스가 a로 등가속도 운동하므로 버스에 매달려있는 추도 a로 등가속도 운동해야 한다. 그 말은 추에 작용하는 알짜 힘이 ma라는 뜻이다. (추의 질량이 m이라면) 

추에 작용하는 실제 힘들은 장력과 중력이며, 이 두 힘의 합력은 오른쪽을 향하며 크기가 ma이다. 그러므로 추는 등가속도 운동을 한다.

 

②비관성계의 관찰자 입장

그러나 버스 안의 관찰자는 추가 정지해있다고 판단한다. 추가 정지해있다는 건 추에 작용하는 힘들이 평형 관계를 이루고 있음을 뜻한다. 추에 작용하는 실제 힘들은 장력과 중력인데, 이 두 힘의 합력을 상쇄할만한 또 다른 힘이 있어야 함을 뜻한다. 그러나 그런 힘이 단지 관찰자가 바뀌었다고 해서 생겨야 한다는 건 논리적 합당함과 거리가 멀다. 관찰자의 눈에서 레이저가 나오는 것도 아니고, 관찰자의 남다른 아우라가 힘을 만들어내는 건 아니기 때문이다.

3. 관성력

모든 상황이 같은데 단지 관찰자가 달라져서 뉴턴 운동 법칙이 어그러지는 일이 생겼다. 그래서 뉴턴은 비관성계에서도 뉴턴 운동 법칙을 성립시키기 위해 '관성력'이라는 가짜 힘을 고안하였다. 비록 가짜 힘이긴 하지만 관성력을 느낄 수는 있다.

버스가 갑자기 출발하면(가속도 방향이 동쪽이면) 뒤로 밀리게 되는데, 이는 관성력이 서쪽으로 작용한 것으로 보인다. 반대로 버스가 급정거하면(가속도 방향이 서쪽이면) 앞으로 쏠리게 되는데, 이는 관성력이 동쪽으로 작용한 것으로 보인다. 이와 같이 가속 좌표계 안에서 작용하는 것으로 보이는 힘을 '관성력'이라고 하며, 크기는 다음과 같다.

물체의 질량과 좌표계의 가속도의 곱으로 나타나며, (-) 부호는 관성력의 방향이 좌표계의 가속도 방향과 반대임을 뜻한다. 

 

①엘리베이터 안에서의 관성력

(가)에서는 엘리베이터가 등속도 운동을 하므로 a=0 이어서 사람에게 관성력이 작용하지 않는 것처럼 보인다. 그래서 저울에 측정되는 값은 사람에 작용하는 중력의 크기이다.

(나)에서는 엘리베이터가 위로 가속되므로 사람은 아래로 작용하는 듯한 관성력을 느낀다. 그래서 저울에 측정되는 값은 사람에 작용하는 중력의 크기에 관성력의 크기를 더한 값이다.

(다)에서는 엘리베이터가 아래로 가속되므로 사람은 위로 작용되는 듯한 관성력을 느낀다. 그래서 저울에 측정되는 값은 사람에 작용하는 중력의 크기에 관성력의 크기를 뺀 값이다.

 

②원심력

회전 그네가 회전할 때 관성계의 관찰자 입장에선 회전 그네에는 장력과 중력의 합력이 구심력 역할을 하기 때문에 원운동 하는 것으로 본다. 그러나 회전 그네를 타고 있는 관찰자(비관성계의 관찰자) 입장에선 물체가 정지한 것으로 보기 때문에 구심력을 상쇄할 또 다른 힘이 있어야 힘의 평형 관계에 의해 정지할 수 있으리라 본다. 그렇기에 비관성계의 관찰자는 관성력을 느낀다고 생각하는 것이고, 이때 원운동에서의 관성력을 원심력이라고 한다.

비관성계에서의 관성력, 원심력

관성력은 힘같이 느껴질 뿐, 절대 힘이 아니다. 힘이라면 물체들 간의 상호 작용에 의해 나타나는 결과이기 때문에 관성력엔 반작용이 없으며, 그러므로 관성력은 명백히 가짜 힘이다. 그래서 관성력이 작용한다는 표현보다는 작용하는 것처럼 느낀다는 표현을 고집하는 것이다.

 

2022.03.31 - [물리학II 클립] - 등가 원리(관성력과 중력)

등가 원리(관성력과 중력)