관성력과 등가 원리

해당 차시 학습지 파일

관성력과 등가 원리.hwpx

1.74MB

학습 목표

가속 좌표계에서 나타나는 관성력의 크기와 방향을 설명할 수 있다.

등가 원리에 의해 가속 운동의 효과를 중력의 효과로 바꿀 수 있다.

---

인생은 달리기와 같습니다. 각자 달리는 속력, 가고자 하는 방향, 다다르고자 하는 종착지 모두 다르지만 우리는 모두 지금보다 나아질 미래를 꿈꾸며 달리고 있어요. 이 인생이란 레이스를 달리다 보면 때로는 불가피하게 변화를 마주하게 되는데요. 변화를 마주했을 때 우리 대부분은 안타깝게도 주저하게 됩니다. 여러분이 주저할 수밖에 없었던 이유, 그리고 대응 방안에 대한 지혜는 오늘 공부할 물리학을 통해 배우게 됩니다.

 

물리학의 흐름

 

뉴턴 운동 법칙의 적용 범위를 관성계(=정지 및 등속 운동하는 계)에서 비관성계(=가속 운동하는 계)로 확장시키기 위해 뉴턴은 관성력이라는 가짜 힘을 고안합니다. 이로써 관성계에만 머물던 F=ma 세계관이 비관성계를 포함하여 넓어지게 됐어요. 그러나 관성력의 의의를 그저 F=ma 세계관 확장으로만 한정한다면 지나칠 정도로 저평가한 것입니다. 

 

아인슈타인 시대로 넘어오면서 관성력은 상대성 이론의 확장과 더불어 공간에 대한 새로운 아이디어를 제공했다는 측면에서 큰 의의를 갖거든요. 일반 상대성 이론 챕터에서 그 흐름에 대해 알아보고자 합니다.

 

1. 기준계

1) 관성계

 

두 차가 동쪽으로 3m/s로 운동을 하고, 각 차의 관찰자는 주변을 볼 수 없고 오로지 상대방의 차만 볼 수 있다고 가정할게요. 이 상황에서 각 차 안의 관찰자가 보기에 상대방의 차는 정지해 있어요. 주변을 볼 수 없거니와 자신이 보고 있는 상대방의 차가 정지해 있으니 자신의 차도 또한 정지해 있을 거라 봅니다.

 

 

혹은 동쪽으로 3m/s로 등속 운동하는 자동차의 관찰자는 자동차가 동쪽으로 3m/s로 움직이는 건지, 자동차를 관찰하는 좌표계가 서쪽으로 3m/s로 등속 운동하는 건지 알 수 없어요.

 

이처럼 등속도 운동과 정지 상태의 구분은 어렵습니다. 구분하기 어렵다는 건 애초에 두 운동 상태가 동일해서이지 않을까요? 두 운동 상태에게 있어 뭐가 동일할까요? 바로 물체에 힘이 작용하지 않아 속력 변화, 즉 가속도가 없다는 것입니다. 다시 말해 두 운동 상태에는 F=ma가 동등하게 적용되기에 두 운동 상태를 동일한 하나의 기준으로 보아도 무방하다는 겁니다. 

 

트럭 위의 관찰자가 공을 위로 던지고 있습니다. 공이 손을 떠나 트럭 바닥에 떨어지는 동안, 트럭 안의 관찰자와 트럭 밖의 정지해 있는 관찰자에게 공의 운동 궤적이 서로 달라 보이겠지만, 공이 트럭 바닥에 도달할 때의 연직 속력과 소요된 시간은 두 사람에게 똑같이 관찰됩니다. 왜냐면 공에게 중력이 작용한다는 사실과 함께 힘에 의해 변화하는 공의 운동 경향을 설명하는 F=ma 모두 두 관찰자에게 동등하게 적용되기 때문입니다.

 

이처럼 동일한 물리 법칙이 동등하게 적용되는 관찰자는 각각 정지해있고, 등속도 운동을 하고 있으니 이를 기준으로 설정하고 이를 관성계라 하는 겁니다.

 

2) 비관성계(=가속도 운동을 하는 계)

 

반면에 가속도 운동을 하는 계, 비관성계는 정체성이 확고합니다. 등속도 운동을 하는 계와 정지해 있는 계로부터 확연히 구분되며, 위의 경우들처럼 가속도의 방향이 어떠한지 또한 가늠할 수 있어요. 그러나 문제점이 있습니다. 비관성계 안의 관찰자, 관성계 안의 관찰자에 따라 뉴턴 운동 법칙의 일관성이 어그러진다는 겁니다. 

 

오른쪽으로 가속 운동하는 버스

 

a의 가속도로 등가속도 운동하는 버스에 추가 매달려있고, 이를 관찰하는 두 사람이 있습니다. 한 사람은 버스 밖, 즉 정지해 있는 관성계에서 추를 관찰하고 있고 한 사람은 버스 안, 즉 가속도 운동을 하는 비관성계에서 추를 관찰합니다. 버스에 매달려있는 추에 작용하는 힘과 운동에 대한 이들의 입장을 들어보도록 해요.

 

① 관성계의 관찰자 입장

추의 질량 m

 

가속도 a로 등가속도 운동하는 버스에 매달려있는 추 또한 가속도 a로 등가속도 운동한다고 판단합니다. 그 말은 즉슨 추에 작용하는 알짜힘의 크기가 ma이고 방향은 오른쪽이라는 거예요. 추에 작용하는 장력과 중력의 합력이 오른쪽을 향하며 크기가 ma라는 겁니다. 

 

② 비관성계의 관찰자 입장

 

그러나 버스 안의 관찰자가 보기에 추는 정지해 있거든요. 분명 추에 장력과 중력이 작용하여 그 합력에 대응하는 운동을 해야 하는 데도 말이죠. 뉴턴 운동 법칙, F=ma이 어그러져버렸습니다.

 

2. 관성력

모든 상황이 같은데 단지 관찰자가 달라져서 뉴턴 운동 법칙이 어그러지는 일이 생겼습니다. 그래서 뉴턴은 궁여지책으로 비관성계에서도 뉴턴 운동 법칙이 적용되게 하는 관성력이라는 가짜 힘을 고안합니다. 비록 가짜 힘이긴 하지만 우리는 관성력을 느낄 수는 있죠.

 

버스가 갑자기 출발할 때(=가속도 방향이 오른쪽이면) 우리는 왼쪽을 향하는 관성력을 느끼며, 반대로 버스가 갑자기 정지하면(=가속도 방향이 왼쪽이면) 우리는 오른쪽을 향하는 관성력을 느낍니다. 이와 같이 비관성계 안에서 느껴지는 힘을 관성력이라고 하며, 크기는 다음과 같아요.

 

 

관성력의 크기는 물체의 질량과 좌표계의 가속도의 곱이며, (-) 부호는 관성력의 방향이 좌표계의 가속도 방향과 반대임을 의미합니다.

 

1) 버스 안에서의 관성력

 

버스 안의 관찰자가 보기에 추는 정지해 있습니다. 추가 정지해있다는 건 추에 작용하는 힘들이 평형 관계를 이루고 있음을 뜻합니다. 버스 안의 관찰자는 추에 작용하는 장력과 중력의 합력이 관성력에 의해 상쇄된다고 느낍니다.

 

2) 엘리베이터 안에서의 관성력

 

(가), 등속도 운동(a=0)하는 엘리베이터 안의 관찰자는 저울의 눈금이 정확히 자신의 몸무게(=중력)를 나타내고 있음을 확인합니다. 

 

(나), 윗방향으로 가속 운동하는 엘리베이터 안의 관찰자는 중력 이외에도 아랫방향의 관성력에 의해 짓눌러지는 듯한 느낌을 받습니다. 실제로 저울의 눈금이 자신의 몸무게보다 더 큰 값을 나타내고 있음을 확인합니다.

 

(다), 아랫방향으로 가속 운동하는 엘리베이터 안의 관찰자는 윗방향의 관성력에 의해 중력의 속박으로부터 벗어나는 듯한 느낌을 받습니다. 실제로 저울의 눈금이 자신의 몸무게보다 더 작은 값을 나타내고 있음을 확인합니다.

 

3) 원운동의 관성력

정지해 있는 관성계 입장

 

관성계의 관찰자는 물체에 작용하는 장력이 구심력으로써의 역할을 하기 때문에 물체가 등속 원운동을 하고 있다고 판단합니다.

가속 운동하는 비관성계 입장

 

그러나 비관성계의 관찰자는 물체가 정지한 것으로 보기 때문에 구심력을 상쇄할 관성력을 느낍니다. 이를 원심력이라고 해요.

 

관성력은 힘처럼 느껴질 뿐 절대 힘이 아닙니다. 왜냐하면 힘이란 물체 간의 상호 작용으로 작용과 반작용이 한 쌍으로 존재해야 하는데, 관성력의 반작용은 정의되지 않기 때문이에요. 그러므로 관성력은 명백히 가짜 힘입니다. 그래서 관성력이 작용한다는 표현보다는 관성력이 작용하는 것처럼 느낀다는 표현을 고집하는 거예요.

3. 등가 원리

 

질량은 다른 질량에 대한 중력 끌림과 가속에 대한 저항을 나타내는 관성의 특성, 두 가지의 다른 특성을 가진 것으로 보입니다. 너무나도 다르지만 질량에 비례하는 공통된 관계를 갖는 두 힘의 정체는 뉴턴과 많은 다른 물리학자들을 오랜 시간 동안 당혹스럽게 만들었어요. 이 난제는 1916년 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 통해 중력과 관성력의 관계를 재조명하며 해결됩니다.

 

1) 관성력과 중력

 

우주선이 중력 가속도가 g인 지표면 위에 정지해 있다면, 우주선 안의 저울에 올라선 질량이 m인 사람은 눈금이 가리키는 값을 토대로 자신의 무게가 mg임을 확인합니다.

 

우주선이 가속도 g로 가속 운동을 하고 있다면, 우주선 안의 저울에 올라선 질량이 m인 사람은 눈금이 가리키는 값을 토대로 자신이 느끼는 관성력의 크기, mg를 확인합니다. 

 

만일 우주선 안의 사람이 우주선 바깥을 전혀 볼 수 없다면, mg가 중력에서 기인한 것인지 가속 운동에 기인한 것인지를 구별하긴 힘들 거예요. 이와 같이 가속 운동하는 좌표계 안에서 일어나는 현상과 중력이 작용하는 좌표계에서 일어나는 현상은 서로 구별하기 어렵다는 것을 등가 원리라고 합니다.

 

2) 무중력 상태 

 

TV에 나오는 우주인들이 우주선 안에서 둥둥 떠다니는 것은 지구와 너무 멀어서 중력이 사라졌기 때문이 아닙니다. 우주 정거장이나 우주왕복선의 고도는 기껏해야 450km 이내, 서울에서 부산까지 거리밖에 안돼요. 2023년, 누리호 3차가 안착하는 데 성공한 궤도 반경 정도입니다. 사실 상공 450km은 우주라는 말이 어울리지 않을 정도로 가까운 거리입니다. 그런데도 우주인의 몸이 둥둥 떠다니는 것은 우주선이 그들과 함께 지구로 떨어지고 있기 때문이죠.

 

중력 가속도가 g인 중력장에서, 가속도 g로 낙하하는 엘리베이터 안의 물체에 작용하는 중력 mg이 관성력 mg에 의해 상쇄되어 물체에 작용하는 중력의 효과가 사라지는 듯합니다. 이를 무중력 상태라고 합니다. 오해하지 마세요. 무중력 상태가 되었다고 정말로 중력이 0이 되는 건 아닙니다. 그저 상대적 운동에 따른 착시에 불과합니다. 

 

https://youtu.be/dc0T5GKSScM

 

달리기 - 옥상달빛

youtu.be/RM2uQr2kFgA

 

오늘 배웠던 관성, 변화가 동반하는 거부는 비단 자연 현상뿐만이 아니라 우리 인생사에도 그대로 적용됩니다. 자연에서 나고 자란 인간이기에 우리는 본능적으로 변화를 거부하고 안정을 추구하기 마련입니다. 가보지 않은 길에 대한 낯섦은 의심과 불안과 같은 부정적 감정의 씨앗이 되며, 때론 그 씨앗에서 자라난 나무의 어두운 그늘에 매몰된 채 현실에 안주해 버리곤 합니다.

그러나 나의 발전을 위한다면, 변화가 동반하는 거부를 당연히 감내해야 할 리스크라 여기고 받아들여야 합니다. 그러면 변화는 곧 기회가 됩니다. 변화(change)와 기회(chance)는 글자 한 끝 차이일 뿐입니다. 이러한 관점의 사소한 전환이 위대한 결과를 낳습니다.

 

쏟아지는 햇살 속에 입이 바싹 마르고 힘들지만 멈춰 설 수 없는 우리의 인생입니다. 해와 달이 뜨고 지는 세월(歲月)은 돌고 또 돌지만, 그 섭리에 얹혀사는 우리의 인생은 한 줄기 유성과도 같습니다. 그렇기에 처음과 끝이 정해진 화살표와 같은 삶이라 고루하게 느껴지겠지만, 그렇기 때문에 유성처럼 반짝이는 인생입니다. 오늘도 물리를 통해 인생을 배웁니다.