일과 에너지(공간으로 바라본 힘)

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운동량과 충격량 (시간으로 바라본 힘)

학습 목표

직선상에서 운동하는 물체의 역학적 에너지가 보존되는 경우와 열에너지가 발생하여 역학적 에너지가 보존되지 않는 경우를 구별하여 설명할 수 있다.

핵심 키워드 조직도

※ 학습 목표 및 핵심 키워드 조직도 분석 (밑의 '더보기'를 클릭)

운동 상태 변화를 비롯한 물리학적 현상의 원인은 '힘(F)'이라는 것을 알았다. 물체에 힘이 작용하면 가속도가 생기기 때문에 속도가 변하게 돼서 물체의 운동 상태가 변하기 마련이지. 뉴턴은 그러한 일련의 상황을 '뉴턴 운동 법칙'으로 정형화시켰다.

그렇지만 애석하게도 실제 세계엔 상호 작용하는 물체의 개수가 너무나도 많고, 그 물체 하나하나에 작용하는 힘의 가짓수도 어마어마할 것이며, 힘이 물체에 작용하는 방향도 제각각이다. 이 많고 많은 변수들을 일일이 하나하나씩 추적하여 물체의 운동 상태를 예측하고 기술하겠다는 건 굉장히 어려울뿐더러 비효율적이다.

 

인간이 삶의 편의를 위해 도구를 개발했듯이 똑같은 물리학적 현상을 조금 더 쉽게 분석해보겠다는 취지에 과학자들은 '에너지'라는 도구를 만들었다. 도구는 삶 자체의 의의를 바꾸지는 않지만 삶을 보다 편리하게 만들어 주기 때문에 중요한 의의를 갖는다. 이번 시간에는 도구로써 중요한 역할을 하는 '에너지'에 대해 알아보고 에너지가 어떤 과정으로 도출되었는지 알아본다.

 

1. 힘과 에너지의 연결고리; 일(W)

수레의 질량 m 이라고 하자.

질량이 m인 수레에 힘 F를 작용하면 속도가 변한다는 건 이제 모두 안다. 이전 단원까지는 힘이 작용하는 시간 정보를 이용해서(등가속도 운동 첫 번째 공식, 충격량과 시간의 관계) 물체의 속도를 예측했다.

 

애석하게도 문제 상황엔 시간 정보가 없다. 대신 힘이 작용한 거리(s)가 제시됐다. 이 상황에서 우리가 알고 있는 변수는 가속도, 처음 속도, 나중 속도, 질량 그리고 이동 거리다. 이제 여러분은 등가속도 세 번째 공식을 떠올려야 한다.

이 공식은 가속도와 속도와 이동 거리의 관계로 이루어져 있다. 이 식에 양념을 좀 쳐보겠다.

 

유도된 식이 무엇을 뜻할까?

뭔가 물체를 작용한 힘 F의 방향으로 s만큼 이동시켜보니 속도가 이만큼 변한다는 걸 산술적으로 나타낸 느낌이 든다. 결국 시간 대신에 이동 거리를 이용해서 물체의 속도 정보를 파악한 거다. 이제 식의 항목들에 이름을 붙여보자. 사실 중학교 과학 시간에 봐왔던 낯익은 것들이다.

 

①일(W) 단위: J

어떤 물체에 힘 F를 작용하여 물체가 힘의 방향으로 s만큼 이동하였을 때 우리는 힘 F가 'W=FS' 만큼의 '일(W)'을 했다고 말한다. 이때 1N의 힘을 작용하여 물체를 힘의 방향으로 1m만큼 이동시켰을 때 한 일의 양은 1J이다.

W>0인 경우	W<0인 경우	W=0인 경우
힘의 방향과 이동 방향이 일치	힘의 방향과 이동 방향이 반대	F=0 s=0 힘과 이동 방향이 수직

 

②운동에너지(Ek) 단위: J

운동하는 물체가 가지는 에너지를 운동 에너지라고 한다.

 

③운동에너지와 운동량의 차이

 

운동량도 운동하는 물체가 갖는 특성이고, 운동 에너지도 운동하는 물체가 갖는 특성인데 도대체 무슨 차이가 있는 걸까? 위의 식을 보면 어떤 차이점이 보인가? 운동량은 힘과 시간의 관계에서 정의되었고, 운동 에너지는 힘과 이동 거리의 관계에서 정의되었다. 

 

즉 힘을 시간적 관점으로 풀이한 것이 운동량이고, 힘을 공간적 관점으로 풀이한 것은 운동에너지이다.

2. 퍼텐셜 에너지

위의 그림은 질량 m인 물체에 중력이 작용하고 있는 상황이다. 중력 F는 mg이다. 물체에 힘(중력)이 작용해서 그 중력의 방향으로 h만큼 이동했다. 그러면 중력이 하는 일의 양(힘×이동거리)은 mgh가 되고 그 일 덕분에 물체의 운동 에너지가 증가한다.

 

떨어뜨리는 높이를 높게 하면, 물체의 이동 거리가 증가하는 꼴이니 바닥에 도달할 때 물체의 속도는 더 빠를 거고, 낮은 높이에서 떨어뜨리면 반대의 경우니 물체의 속도가 그리 빠르지 않을 것이다.

 

뭔가 물체가 떠 있는 위치가 일을 하는 능력을 결정하는 느낌이 든다. 따라서 위치가 갖는 잠재력으로 에너지가 결정된다고 해서 이 에너지를 '퍼텐셜 에너지'라고 부른다. 잠재력이 큰 에너지일수록 일을 많이 할 수 있으니 물체의 운동 상태를 드라마틱하게 바꿀 수 있다는 인과 관계를 이해하도록 하자.

 

①중력 퍼텐셜 에너지(Ep) 단위: J

중력이 작용하는 공간에서 물체가 높이에 따라 가지는 퍼텐셜 에너지로, 질량 m인 물체가 기준면에서 높이 h인 지점에서 가지는 중력 퍼텐셜 에너지는 다음과 같다.

 

Ep = mgh (g: 중력가속도)

 

기준면은 퍼텐셜 에너지가 0이 되는 지점이고, 기준면보다 낮은 위치에서는 퍼텐셜 에너지가 (-) 값을 가진다.

이때 기준점은 마음대로 정할 수 있다. 다만 처음부터 정한 기준점을 일관되게 고수해야 한다. 문제 풀다가 갑자기 기준점을 바꿔버리면 꼬인다.

 

 

 

 

②탄성 퍼텐셜 에너지(Ep) 단위: J

 

탄성 퍼텐셜 에너지는 길이가 변한 용수철이 가지는 퍼텐셜 에너지이다. 

중력 퍼텐셜 에너지는 물체에 작용하는 힘(중력)이 이동하는 동안 일정하여 'mg×h(이동거리=높이)'로 구해지지만, 탄성 퍼텐셜 에너지는 물체에 작용하는 힘(탄성력)이 이동하는 동안 일정하지 않다.

 

탄성력은 늘어난 길이에 비례한다. 그래도 '힘-이동거리' 그래프에서 기울기 아래 면적이 '일의 양=퍼텐셜 에너지'이라는 건 변하지 않으므로 그래프 아래 면적을 구하면 옆과 같은 식이 나온다.

 

이때 중요한 건 k는 용수철 상수이고, x는 원래 길이 대비 변형된 길이라는 점이다. x의 정의를 확실히 해두자. 다시 말하지만 x는 원래 길이 대비 변형된 길이다!!!!

3. 역학적 에너지

①중력만 작용하는 공간

물체가 h1에 있을 때 갖는 에너지들의 합과 h2에 있을 때 갖는 에너지들의 합이 같다는 게 '일-에너지 관계'로 증명됐다. 이처럼 보존되는 에너지들의 합이 의미 있다고 생각해서 '퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합'을 '역학적 에너지'라고 부르는 거다.

 

중력만(물체에 작용하는 힘은 중력밖에 없다는 걸 그림에서 확인해라) 작용하는 공간에서는 역학적 에너지가 보존됨을 확인했다.

 

②탄성력이 작용하는 공간

A: 최대로 늘어난 길이 , O: 기준점, V: O를 지날 때 갖는 최대 속력

탄성력이 작용하는 공간에서도 역학적 에너지가 보존됨을 확인했다.

평형점에 대한 고찰

용수철의 평형점에서 탄성 퍼텐셜 에너지는 0이고, 운동 에너지는 최대이다. 역학적 에너지가 보존되어야 하기 때문으로 이해해도 되지만, 힘에 대한 관점으로 보도록 하자.

빨간선은 물체의 이동 방향, 파란선은 힘의 작용 방향

탄성력은 물체가 원래 길이로 복원되려는 방향으로 생기므로, 평형점을 지나기 전 왼쪽을 향했지만 지나고 난 후 오른쪽을 향한다.(힘의 방향 변화) 하지만 물체는 계속 왼쪽으로 이동하면서 수축하는 중이다. 따라서 물체의 속도는 평형점 지점까지 증가하다가 평형점을 지난 후부터 감소하기 시작한다. 따라서 평형점에서 물체의 속도가 최대가 되므로, 운동 에너지도 최대가 된다. 

 

결론은 물체의 평형점(알짜힘이 0이 되는 지점)에서 물체의 속도가 최대값을 가진다.

여기서 돌발 퀴즈!

 

이 상황의 물체에 작용하는 힘은 탄성력 외에도 중력이 있다. 그런데 물체가 수직 방향으로 움직임이 없는 걸로 보아 수직 방향으로의 알짜힘이 0이라는 걸 의미한다. 그 말인 즉슨, 중력에 대항하는 수직 항력도 이 물체에 작용하고 있다는 거다.

그런데 왜 일-에너지 관계에서 수직 항력과 중력이 한 일은 고려하지 않은걸까? 답을 생각해보자.

친절하지만 비밀스러운 답: 물체의 이동방향과 수직항력과 중력은 수직을 이루고 있으므로 수직항력과 중력이 한 일의 양은 0이다.

4. 역학적 에너지는 무조건 보존되는 것인가?

질량이 m인 물체의 자유낙하 운동

위의 그림과 같은 상황에서 물체에 작용하는 힘이 중력뿐이라면, 물체가 어떤 높이에 있든 역학적 에너지의 양은 mgh로 변함이 없다.

 

그러나 실제 세계에서는 물체에 공기저항에 의한 마찰력이 물체에 작용한다.

낙하 방향의 반대 방향으로 마찰력이 작용하기 때문에 마찰이 없는 상황일 때보다 물체의 가속도는 줄어들게 되고, 당연히 지면에 도달하는 속력 v'는 v(공기 저항이 없을 때 지면에 닿을 때 물체의 속력)보다 작을 거다.

 

공기 저항이 없다면 역학적 에너지가 mgh로 일정했을 텐데, 공기 저항이 존재한다면 마찰력이 한 일 fh만큼 에너지가 감소하고, 그에 따라 운동 에너지가 감소됐다는 거고 이는 역학적 에너지가 줄게 됐다는 걸 의미한다. 반대로 물체가 운동하는 방향으로 추가적인 힘을 가해 일을 해준다면 역학적 에너지가 증가할 수 있다.

 

즉, 중력이나 탄성력이 아닌 추가적인 힘이 한 일에 따라 역학적 에너지는 변하게 된다. 

 

이제 중학생이 아니라 고등학생이니 단순히 마찰이나 공기 저항이 있으면 역학적 에너지의 일부분이 열 에너지로 바뀐다고만 이해하고 넘어가지 말고 '일-에너지 관계'로 이해하길 바란다.

다음 수업 미리보기

이제 많은 입자들이 만들어내는 역학적 현상을 힘이 아닌 '에너지'라는 도구를 이용하여 쉽게 분석할 수 있게 되었다. 다음 단원에서는 엄청나게 많은 수의 입자들 때문에 생기는 역학적 현상인 '열현상'을 '에너지'라는 도구를 이용하여 분석하는 방법에 대해 공부할 것이다.

 

5. 기출문제 풀어보기

19년도 6월 학평 물리1(고2) 17번/ 정답률 65%

답: 1번

 

19년도 6월 학평 물리1(고2) 10번/ 정답률 76%

답: 2번

 

16년도 10월 학평 물리1 5번/ 정답률 80%

답: 3번

 

14년도 4월 학평 물리1 7번/ 정답률 72%

답: 2번

 

16년도 6월 모평 물리1 8번/ 정답률 87%

답: 4번

 

18년도 7월 학평 물리1 2번/ 정답률 77%

답: 4번

 

13년도 10월 학평 물리1 16번/ 정답률 75%

답: 4번