[2015 개정 통합과학] 운동량과 충격량

공기 저항을 무시한다면 모든 물체를 같은 높이에서 떨어뜨렸을 때 바닥에 닿는 시간은 모두 동일하다. 이 결과는 질량과 무관하다. 이에 대한 근거는 F=ma, 뉴턴 운동 법칙이었다. 이러한 설명은 17세기, 뉴턴이 나오고 나서부터 가능해진 것이다. 따라서 여러분은 아리스토텔레스가 틀렸으니까 어리석다고 생각하면 안 된다.

 

4세기 아리스토텔레스를 비롯한 여러 학자들은 물체가 힘에 의해 움직인다는 생각을 일절 하지 못했다. 힘이란 개념 자체가 그때는 없었기 때문에 중력이라는 것도 감히 생각하지 못했다. 물체의 운동은 공기의 아래 혹은 위로 미는 작용에 의한 것이라고 생각했을 뿐이다. 

 

공기에 의해서 물체가 움직인다는 아리스토텔레스의 생각에 의문을 품은 사람들은 물체가 운동하기 위해서는 어떤 다른 외적인 요인이 필요하다고 생각하게 되고, 14세기에 프랑스의 철학자 장 뷔리당은 '임페투스'가 운동의 원인이라고 설명하였다. 예를 들어 대포의 폭발로 날아가는 포탄의 운동은 대포의 폭발로부터 포탄에 '임페투스'가 전달되었기 때문에 가능하다는 식이다.

 

그는 질량이 클수록, 속도가 빠를수록 임페투스가 커진다고 보았다.

1. 운동량

 

질량(m)이 클수록, 속도(v)가 빠를수록 운동의 세기가 크다는 것을 직감적으로 안다. 

이렇게 물체의 운동 정도를 나타내는 물리량을 운동량(p)이라 한다.

 

임페투스와 운동량의 수식적인 의미는 (질량) x (속도)로 동일하다. 그러나 그 속에 담긴 물리적 의미는 크게 다르다. 근대에 이르러 운동 변화의 원인은 힘이라는 것이 밝혀졌지만 그 이전에는 임페투스가 운동의 근원이라고 생각되었다. 반면 현대적인 의미의 임페투스, 즉 운동량은 물체의 운동 상태를 가리키는 지표 중 한 종류일 뿐이다. 운동 상태를 가리키는 지표는 운동량뿐만 아니라 운동에너지도 있다.

질량이 m인 물체가 v라는 속력으로 움직일 때 가지는 에너지

모두 물체의 운동 상태를 구체적인 수치로 나타내기 위한 하나의 표현 방식이다. 그렇다면 둘은 어떤 차이점이 있을까? 물리학1에서 자세히 배우겠지만 간단히 언급하자면, 운동량은 힘을 시간의 관점에서 바라본 것이고, 운동에너지는 힘을 공간의 관점에서 바라본 것이다.

 

문제

1. 그림은 각각 골프공, 야구공, 볼링공의 질량과 운동 속도를 나타낸 것이다. 운동량이 큰 순서대로 나열하시오.

 

 

2. 물체 A, B, C의 운동 상태가 다음과 같을 때 운동량의 크기가 큰 것부터 순서대로 나열하시오.

[보기] • 질량 1 kg인 장난감 자동차 A가 동쪽으로 10 cm/s의 일정한 속력으로 이동하고 있다. • 질량 2 kg인 드론 B가 서쪽으로 1 m/s의 일정한 속력으로 날고 있다. • 질량 500 g인 축구공 C가 서쪽으로 10 cm/s의 일정한 속력으로 굴러가고 있다.

 

2. 뉴턴 운동 3법칙 = 작용 반작용 법칙

맞는 놈도 아픈데 때린 놈도 아프다.

친구의 손목을 때릴 때 힘을 실어 때린 만큼 내 손가락도 얼얼하게 아팠던 경험이 있을 것이다. 사실 내 손가락이 친구 손목에 맞았기 때문에 얼얼한 것이다.

 

스케이트를 타다가 친구를 밀었을 때 반대 방향으로 밀렸던 경험도 분명 있을 것이다.

분명 친구를 민 건 나지만, 동시에 친구도 나를 밀고 있기 때문에 친구와 함께 나도 밀린 것이다.

 

이처럼 힘은 두 물체 사이에서 상호 작용하는데, 이때 두 힘은 작용과 반작용 관계를 이룬다.

뉴턴 운동 3법칙(작용 반작용 법칙) 힘은 항상 두 물체 사이의 상호작용이다. 한 물체가 다른 물체에 힘을 가하면, 동시에 다른 물체도 그 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가한다.

	작용	반작용
손목 때리기	'나의 손가락'이 '친구 손목'을 때리는 힘	'친구 손목'이 '나의 손가락'을 때리는 힘
사람 밀기	'나'가 '친구'를 미는 힘	'친구'가 '나'를 미는 힘

느낌이 오는가. 두 힘의 작용과 반작용의 관계는 단지 주어와 목적어를 바꿔주면 된다는 걸? 

 

작용 반작용 관계인 두 힘의 특징

·두 힘은 동시에 작용한다.

·두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.

·두 힘은 동일 작용선상에 있다.

·두 힘은 서로 다른 물체에 작용한다.

3. 운동량 보존 법칙

운동량 보존 법칙은 사실 뉴턴 운동 3법칙의 다른 표현일 뿐이다.

두 물체가 충돌하는 시간(△t) 동안 서로에게 작용하는 힘은 작용 반작용 관계에 있기 때문에 크기가 같고, 방향은 서로 반대다. 

정리하면 충돌하는 두 물체 사이에서 발생하는 힘들이 '뉴턴 운동 3법칙'을 따르기 때문에 물체 사이에서 필연적으로 보존되어야 할 물리량이 있었고, 그 물리량에 '운동량'이라는 이름을 붙여준 것이다.

 

①보존되는 것과 보존되지 않는 것 구별하기

착각하지 말아야 할 것은 충돌 전후에 물체 각각의 운동량은 보존되지는 않는다는 점이다.

A는 충돌하는 순간 B로부터 FA라는 힘을 받고, B는 충돌하는 순간 A로부터 FB라는 힘을 받는다. 

즉, A에겐 FA라는 알짜힘이 작용했고, B에겐 FB라는 알짜힘이 작용했다는 것이다. 각각은 힘을 받은 만큼 속도가 변했을 것이고, 그에 따라 운동량이 변하기 마련이다.

F는 물체에게 작용하는 알짜힘이라는 걸 상기하자.

다만 A와 B의 운동량 합은 보존이 된다. A와 B로 이루어진 시스템 관점에서 바라보자. 충돌 전 A와 B는 등속운동을 하고 있었으므로 'A-B 시스템'에 작용하는 알짜힘은 0이다. 충돌 후 역시 A와 B가 등속 운동을 하고 있으므로  'A-B 시스템'에 작용하는 알짜힘은 0이 된다.

 

따라서 'A-B 시스템'엔 전체적으로 작용하는 알짜힘이 0이므로 'A-B 시스템' 총운동량엔 변함이 없다.

 

②운동량 보존 법칙이 적용되는 예를 산술적으로 살펴보기

 

2. 뉴턴 운동 2법칙을 통해 살펴보는 운동량과 충격량

 

뉴턴 운동 2법칙을 통해 알 수 있는 사실은 물체의 운동량을 변화시키는 요인은 힘과 시간(물체에 작용한 힘과 그 힘이 물체에 작용한 시간)이라는 것이다. 

 

이처럼 운동을 변화시키는 물리량을 충격량(I)이라 하고, 다음과 같은 식으로 정의된다.

 

 

물체가 받는 충격의 정도, 즉 충격량은 힘(F) 과 시간(t) 에 비례하는데 다음 사례들을 통해 변수들의 관계를 이해하자.

 

②△P가 같을 때(=물체가 받는 충격량이 같을 때) 안전해지려면?

모두 움직이던 물체들이 최종적으로 정지하게 되는 상황이다.

 

야구할 때 글러브를 안 끼면 손바닥이 아작 나고 → 맨손으로 받는 것보다 공이 정지하기까지 오래 걸림

태권도할 때 낙법을 쓰지 않으면 척추와 무릎 관절이 아작 나고 → 낙법을 쓰면 정지하기까지 오래 걸림

번지점프할 때 고무줄이 아닌 밧줄을 쓰면 몸이 아작 나고 → 고무줄로 낙하할시 정지하기까지 오래 걸림

택배 상자에 포장재를 넣지 않으면 상품이 아작 나고 → 정지하기까지 오래 걸림

자동차에 범퍼나 에어백을 장착하지 않으면 인생이 아작 난다. → 정지하기까지 오래 걸림

 

우리가 원하는 건 모든 물체들에 작용하는 힘이 최소화되는 것이다. 그래야 안전하다. 사람이든 물체든.

뭐가 됐든 어떤 속도로 움직이던 물체가 결국엔 정지하므로 운동량의 변화량(△P)이 일정한 상황이다. 

140km/h로 날아오는 야구공을 맨손으로 받아도, 야구 글러브로 받아도 야구공은 정지하게 된다. 따라서 두 경우 야구공의 운동량 변화량은 같다. 다만 상대방을 아웃시키느냐 내 인생을 아웃시키느냐의 차이가 있을 뿐이다.

ㅇ

야구 글러브로 공을 받으면 맨손으로 받았을 때와 비교하여 공이 정지하기까지 시간이 지체된다. 충돌 시간(△t)이 늘어나는 효과가 생기기 때문에 충격력 (F)가 줄어드는 효과가 생긴다. 나머지 사례들도 힘이 작용하는 시간을 최대한 길게 해줌으로써 힘 F를 줄이는 경우다.

 

③힘 F를 오랜 시간동안 작용함으로써 △P(=충격량)을 늘리는 상황

왼쪽의 기관포보다는 오른쪽의 자주포의 사정거리가 훨씬 길다. 멀리 날아간다는 것은 자주포 포탄이 가지는 운동량이 기관포의 포탄이 가지는 운동량보다 더 크다는 걸 의미한다.(속도가 더 빠르니)

똑같은 연료의 폭발력(=포탄에게 작용하는 힘 F가 같다.)으로 포탄이 날아가는 건데 왜 둘의 사정거리는 다를까?

 

그 이유는 포신의 길이가 길수록 힘 F가 포탄에 작용하는 시간(△t)이 그만큼 길어지기 때문이다. 

 

똑같은 세기로 바람을 불어도 좀 더 긴 빨대를 이용하면 발사체를 멀리 날릴 수 있다.

 

문제

1. 운동량이 20 kg·m/s인 물체에 운동 방향으로 40 N·s의 충격량을 주었을 때, 물체의 나중 운동량의 크기는 몇 kg·m/s인지 쓰시오.

 

 

 

2. 1 m/s의 일정한 속력으로 달리는 질량이 2000 kg인 자동차를 5초 만에 정지시키려고 한다. 이 자동차의 브레이크에 작용해야 하는 평균 힘의 크기는 몇 N인지 쓰시오.

 

 

 

3. 질량이 0.1 kg이고, 20 m/s의 속력으로 날아오는 공을 질량이 1 kg인 방망이로 쳐서 날아오는 방향과 반대 방향으로 20 m/s의 속력으로 날려 보냈다. (단, 공의 처음 운동 방향을 (+)방향으로 한다.)

 

⑴ 공의 처음 운동량을 구하시오.

 

⑵ 공의 나중 운동량을 구하시오.

 

⑶ 방망이가 공에 가한 충격량을 구하시오.

 

 

 

4. 다음은 빨대를 이용하여 종이 공을 날리는 실험이다.

[실험과정] 그림과 같이 종이를 공 모양으로 뭉쳐서 빨대 속에 넣고 입으로 불어 날린다. [실험결과] 부는 힘이 클수록, (가) 빨대의 길이가 길수록 종이 공이 멀리 날아간다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보기] ㄱ. 종이 공이 받은 충격량이 클수록 속력이 커진다. ㄴ. 부는 힘이 클수록 종이 공이 받는 충격량이 커진다. ㄷ. 대포의 포신을 길게 만드는 것은 (가)의 원리를 이용한 것이다.

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

5. 그림은 질량이 m인 야구공이 v의 속력으로 벽에 수직으로 충돌한 후, 0.5v의 속력으로 정반대 방향으로 튀어나오는 것을 모식적으로 나타낸 것이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보기] ㄱ. 벽에 충돌한 후 야구공의 운동량의 크기는 증가하였다. ㄴ. 벽과 충돌 전후 야구공의 운동량 변화량의 크기는 0.5mv 이다. ㄷ. 충돌하는 과정에서 야구공이 벽으로부터 받은 충격량의 크기는 1.5mv 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

 

 

6. 자동차의 에어백을 장착하면 충돌 사고가 일어났을 때 피해를 줄일 수 있다. 그 이유와 관계있는 것으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보기] ㄱ. 물체가 받은 충격량을 줄인다. ㄴ. 물체가 힘을 받는 시간을 길게 한다. ㄷ. 물체가 받는 평균적인 힘의 크기를 줄인다.

① ㄷ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

7. 에어백이 장착되어 있는 자동차의 경우 교통사고가 일어났을 때 운전자가 크게 다칠 위험이 작다고 한다. 이와 같은 원리로 설명할 수 있는 것은?

① 테니스공을 밀어주는 느낌으로 칠수록 공을 더 멀리 보낼 수 있다.

② 타자가 방망이를 멀리 휘두르면 공이 더 멀리 날아간다.

③ 대포의 포신이 길수록 포탄을 더 멀리 날려 보낼 수 있다.

④ 같은 힘을 가할 때 야구공이 농구공보다 더 멀리 날아간다.

⑤ 농구공을 받을 때 손을 뒤로 빼면서 받으면 손에 힘을 덜 받는다.

 

8. 그림 (가)는 질량이 m인 물체가 벽을 향해 일정한 속력 2v로 운동을 하는 모습을 나타낸 것이고, (나)는 (가)의 물체가 벽에 충돌한 후 (가)에서와 반대 방향으로 일정한 속력 v로 운동하는 모습을 나타낸 것이다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[보기] ㄱ. 물체의 운동량의 크기는 충돌 후가 충돌 전보다 작다. ㄴ. 충돌하는 동안 벽이 받은 충격량의 크기는 2mv 이다. ㄷ. 충돌하는 동안 벽이 물체에 작용하는 평균 힘의 크기는 물체가 벽에 작용하는 평균 힘의 크기와 같다.

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄱ, ㄷ  ④ ㄴ, ㄷ  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

3. 달걀을 방석에 떨어뜨리면 깨지지 않는 이유

힘-시간 그래프에서 충격량이란?

운동량 변화량 즉, 충격량이 힘과 시간의 곱이라는 걸 식으로 확인했으니 위의 <힘-시간 그래프>에서는 기울기 아래 면적이 충격량임을 눈치챌 수 있다.

 

질량이 같은 두 달걀이 같은 높이에서 자유 낙하하여 지면에 도달하는 상황을 보자.

두 달걀이 같은 높이에서 자유 낙하하므로 유리판과 방석에 동시에 도달하고 이때 두 달걀의 속도의 크기는 똑같다. 그러나 두 달걀은 방석과 유리판에 결국 정지하게 된다.

이제 유리판에 떨어진 달걀은 깨지고 방석에 떨어진 달걀은 깨지지 않는 이유를 확인해볼 것이다.

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*드래그하면 답 나옴*

 

지면과 충돌하기 전 달걀의 운동량 = 둘 다 mv

 

충돌하고 난 뒤 달걀의 운동량= 둘 다 0

 

달걀의 운동량 변화량의 크기= 둘 다 mv

 

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두 달걀의 운동량 변화량이 같기 때문에 두 달걀이 받는 충격량은 같다.

그러나 왜 방석에 떨어지는 달걀만 깨지지 않을까?

 

힘의 정의를 생각해보자. 힘이란 물체의 모양을 변화시키는 원인이다. 더 극적인 모양 변화를 일으키기 위해서는 더 큰 힘이 필요하다. 가장 극적인 변화를 보인 유리판에 떨어져 깨진 달걀엔 그만큼 큰 힘 F가 가해졌다는 걸 의미한다.

 

그렇다면 왜 유리판이 달걀에 작용하는 힘 F가 방석이 달걀에 작용하는 힘 F보다 클까?

달걀이 방석에 떨어질 때에는 운동량이 변화(mv→0)하는 데 걸리는 시간이 상대적으로 더 길고

유리판의 상황에서는 운동량이 변화(mv→0)하는 데 걸리는 시간이 상대적으로 짧아서 그렇다.

 

이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

 

즉 충격량이 같을 때 힘을 받는 시간이 길어질수록 작용하는 힘의 크기는 줄어들게 된다.

정말 중요한 거를 이야기하며 마무리한다. 눈치챘는지 모르겠지만 이 달걀 낙하 상황에서 두 개의 시간을 고려했다. 바로 달걀이 낙하한 시간과 달걀이 지면과 충돌한 시간이다.

 

달걀이 낙하한 시간은 두 달걀에게 있어 동일하지만, 달걀이 지면과 충돌한 시간은 각기 다르다는 걸 꼭 짚고 넘어가자.

 

문제

1. 그림 (가), (나)는 동일한 달걀을 같은 높이에서 단단한 바닥과 푹신한 방석에 각각 떨어뜨리는 모습을 나타낸 것이다. 이때 (가)에서는 달걀이 깨졌고 (나)에서는 달걀이 깨지지 않았다.

(가)                                (나)

(나)에서 달걀이 깨지지 않은 까닭을 가장 적절하게 설명한 것은?

① 충돌 시간이 더 짧아서 달걀이 받는 힘이 더 작다.

② 충돌 시간이 더 길어서 달걀이 받는 힘이 더 작다.

③ 충돌 시간이 더 짧아서 달걀이 받는 충격량이 더 작다.

④ 충돌 시간이 더 길어서 달걀이 받는 충격량이 더 작다.

⑤ 운동량의 변화량이 더 작아서 달걀이 받는 힘이 더 작다.

 

 

2. 그림 (가)는 같은 높이에서 떨어뜨린 동일한 달걀이 시멘트 바닥에 떨어졌을 경우에는 깨지지만 방석에 떨어졌을 경우에는 깨지지 않는 것을 나타낸 것이다. 그림 (나)는 두 경우에 달걀이 받은 힘을 시간에 따라 나타낸 것으로, A와 B의 그래프 아랫부분의 넓이는 같다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보기] ㄱ. A는 방석에 떨어진 달걀의 경우를 나타낸다. ㄴ. 방석에 떨어지는 경우보다 시멘트 바닥에 떨어지는 경우에 달걀이 받는 충격량이 더 크다. ㄷ. 두 달걀의 운동량 변화량의 크기는 같다.

① ㄱ  ② ㄴ  ③ ㄷ  ④ ㄱ, ㄴ  ⑤ ㄱ, ㄷ

 

3. 그림 (가)는 마찰이 없는 수평면 위에서 질량 2 kg인 물체 A가 정지해 있는 질량 1 kg인 물체 B를 향해 4 m/s의 일정한 속력으로 운동하는 모습을 나타낸 것이다. 그림 (나)는 충돌하는 동안 B가 A로부터 받은 힘의 크기를 시간에 따라 나타낸 것이다. 충돌 후 A와 B는 동일 직선상에서 운동하고 그래프 아래 넓이는 3 N· s이다.

(가)                                                      (나)

⑴ 충돌 과정에서 A가 받은 충격량의 크기를 구하시 오.

 

⑵ 충돌 후 B의 속력을 구하시오.

 

 

4. 그림 (가)는 마찰이 없는 수평면 위에서 2v 와 v의 일정한 속력으로 다가오는 질량이 m인 공을 각각 수평 방향으로 발로 차는 모습을 나타낸 것이다. 그림 (나)는 (가)에서 공이 발로부터 받은 힘의 크기를 시간에 따라 각각 나타낸 것으로, 시간축과 각 곡선이 만드는 넓이는 4mv로 같다. 공을 차기 전과 후에 공은 동일 직선상에서 운동한다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, 공의 크기는 무시한다.)

[보기] ㄱ. 공이 받은 충격량의 크기는 A > B이다. ㄴ. 공이 받은 평균 힘의 크기는 A에서가 B에서의 2배이다. ㄷ. 공이 발을 떠나는 순간 공의 속력은 A에서가 B에서의 2배이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ