라그랑지안 방정식

라그랑주

뉴턴의 운동 방정식을 정의할 때 힘 F는 물체에 작용하는 전체 힘을 고려해야만 한다. 

여러분도 알다시피 힘은 벡터다. 크기뿐만 아니라 방향까지 고려해야 한다. 물체에 작용하는 힘이 많다면 그 힘들을 모두 찾아 힘들의 방향과 크기까지 고려해서 운동방정식을 세워야한다니 생각만 해도 끔찍하다.

 

그러나 우리가 라그랑지안 방정식을 이용하면 힘이 아닌 물체의 에너지로부터 운동 방정식을 유도할 수 있다.

즉 스칼라(크기)만 고려해도 벡터(크기와 방향)를 다룬 효과를 가지는 것이다.

라그랑지안 방정식은 단지 복잡한 문제를 쉽게 다룰 수 있는 하나의 도구라고 생각하면 된다.

 

오해하지 말라. 도구의 작동 원리는 뉴턴 역학을 전제로 한다. 라그랑지안 역학이 뉴턴 역학과 전혀 다른 것이 아니란 말이다!

라그랑지안 방정식은 그냥 도구에 지나지 않는다.

 

이번 시간에는 라그랑지안 방정식이 어떻게해서 탄생되었는지 그 과정과 실제 라그랑지안 방정식이 적용되는 사례를 살펴보도록 하겠다.

1. 최소 작용의 원리

뉴턴 역학이 아인슈타인에 의해 상대론적 역학으로, 슈뢰딩거에 의해 양자 역학으로 전환되었다.

파동이었던 빛은 입자가 됐다가 이제는 빛이 입자이면서 파동임을 알게 되었다. 이를 비롯해 불과 100년 사이에 역사적으로 진리라 여겨져 왔던 물리학적 지식이 많이 바뀌었었다는 것을 여러분은 잘 알 것이다.

 

하지만 대부분의 물리학자들은 지금으로부터 100년 아니 1000년이 흘러도 절대 변하지 않을 물리학적 진리를 이것으로 꼽았다. 바로 최소 작용의 원리!!!

 

물리학에서 최소의 원리는 길고 재미있는 역사를 가지고 있다. 자연은 반드시 어떤 중요한 양이 최소가 되도록 작용한다는 생각은 광학 분야에 처음 적용되었다.

 

반사의 법칙과 굴절의 법칙

17세기에 페르마는 과거 선현들의 연구를 종합하여 '최소 시간의 원리'를 발표하고 이를 이용해 반사의 법칙과 스넬의 굴절 법칙을 설명한다.

 

이러한 최소의 원리가 18세기에 처음으로 역학에 적용되었으나, 약간 종교적 색채가 강한 분석이 가미되어서 (가령 신의 지혜에 의해 작용이 최소가 된다는 식의 주장) 분석 자체가 모호했다.

 

그러다가 19세기에 이르러 해밀턴은 역학 전체, 실제로는 고전 물리학의 대부분의 기초가 될 수 있는 역학의 원리를 발표한다. 

 

---

해밀턴 원리

역학계가 어떤 특정한 시간 안에 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 지나가는 모든 가능한 경로 가운데, 실제로 계가 지나가는 경로는 운동에너지와 위치에너지 차이의 시간 적분이 최소가 되는 경로이다.

---

2. 라그랑지안 방정식 유도

y는 계의 위치를 표현하는 일반화 좌표다. (보통 역학책에서 q로 표현한다.)

t1일 때 위치한 곳에서 t2일 때 위치한 곳으로 갈 수 있는 경로는 매우 다양하다. 

그 중 최단 경로는 직선이며 실제 물체는 이 직선 경로를 만족하는 운동을 하는 것이 해밀턴의 원리이고

이러한 해밀턴의 원리를 라그랑주가 수학적으로 접근하여 라그랑지안 방정식을 만든 것이다.

A4 한장 반 분량의 아름다운 수학의 언어로 기술되는 자연의 이치를 보라.

 

(한 다섯 번 정도는 여러분이 직접 따라 해봐야 이해가 될 것이다. 다시 말하지만 이것은 대학생도 버거워하는 전공 역학 내용이라는 것을 상기하라.)

라그랑지안 방정식을 유도하는 것이 중요한 것이 아니다.

이 방정식이 얼마나 자연의 순리를 기가 막히게 설명하는지 체감하는 것이 더 중요하다.

3. 라그랑지안 방정식의 적용 사례