대학시절에 했던 특이한 소개팅 썰을 푼다. 호피무늬 타이즈를 입은 그녀의 첫 등장부터 강렬했다. 그땐 호피무늬를 받아들일정도로 마음이 관대하지 않았다. 카페에서 이런저런 이야기를 하다가 2차를 가기 위해 밖을 나왔는데 비가 내리고 있었다. 그냥 맞으면서 걷기엔 좀 굵은 비가 내렸는데 자기는 비 맞으면서 걷는 걸 너무 좋아한다며 유유히 걸어 나가는 뒷모습을 보는 나로서는 심히 문화 충격이었다. 이슬비라면 모를까.. 그 걸음은 분명 비를 피하기 위한 걸음이 아니라 비를 맞아야겠다는 결연의 의지가 담긴 걸음이었다. 약간 그런 느낌이었다. 비련의 여주인공에 빙의한 호랑이. '얼른 와요^^' 하며 말을 건네는데 좀 무서웠다.
우리는 보통사람과 다르거나 특이한 정신세계를 보유한 사람을 4차원이라 한다. 하지만 4차원이 이렇게 사람의 특이 성격만으로 치부되기엔 얼마나 무궁무진하고 철학적인 내용을 담고 있는지 모르는 사람들이 많은 거 같아 물리를 하는 사람 입장에서 안타까운 면이 없지 않아 있다.
점 하나는 0차원이다. 이 점을 수직한 방향으로 쭉 그으면 생기는 선은 1차원이다.
1차원 선분을 선에 수직한 방향으로 한 번 움직이면 2차원의 면이 만들어지고, 이 면에 수직한 방향으로 면을 움직이면 3차원 입방체가 만들어진다.
이 3차원 입방체를 '수직 방향'으로 한 번 더 움직인다면 입방체를 넘어서는 4차원의 공간을 만들 수 있다.
4차원을 통하는 방향을 3차원에 있는 여러분에게 보여줄 수는 없지만 그런 방향이 있다고 상상은 할 수 있지 않겠는가?
'코스모스'에서 인용하여 각색한 납작이 나라 이야기
여기 납작이 나라와 같은 우주가 있다. 납작이 나라는 2차원 공간이다. 따라서 납작이 나라 국민은 왼쪽이니 오른쪽이니 하는 것은 구별할 줄 안다. 물론 앞과 뒤도 안다. 그러나 위와 아래는 도저히 이해하지 못한다. 몇몇의 현명한 수학자 납작이들만 위와 아래의 개념을 이해한다. 한 수학자 납작이가 자기 동족 여러 명 앞에서 한창 열을 올리면서 위아래에 대하여 연설을 한다. 군중들이 웅성댄다. "무슨 소리야. 위아래가 어디 있어. 어떻게 그게 가능해? 보여줘 봐 어디야?" 아무도 수학자의 이야기를 듣지 않고 수학자는 군중을 피해 어디론가 사라진다.
사실 납작이 나라의 2차원 우주는 3차원으로 구부러져 있다. 납작이들이 자기가 사는 곳에서 다른 장소로 여행한다 해도, 두 장소 사이의 거리가 특별히 멀지 않다면 자기 나라가 구부러진 줄 전혀 깨닫지 못할 것이다. 그러던 어느 날 납작이 하나가 제 딴에 직선이라고 생각하는 길을 따라 아주 멀리 이동했다. 그는 이상한 현상 하나를 발견하게 된다. 그것은 여행 중에 어떤 경계를 만난 적도 없고 가던 방향을 바꿔서 되돌아 걷지도 않았는데, 출발점에 다시 돌아올 수 있었던 것이다. 즉 납작이의 2차원 공간은 신비롭게도 3차원적으로 구부러져 있는 것이다. 그가 3차원을 상상하지 못해도 3차원의 존재를 받아들여야 하는 이유가 여기에 있다. 이제 납작이의 이야기에 나오는 차원을 하나씩만 높여 보라. 그러면 납작이의 고민이 바로 우리의 고민이 된다.
A4 종이의 중심을 찾으려면 모두 다 가운데 부분을 지목한다. 하지만 2차원으로 생각했던 납작이 우주는 실제로 3차원적으로 구부러져 있기 때문에, 중심이라고 생각했던 지점이 중심이라 말하기가 힘들다. 사실 2차원 우주의 중심은 3차원에 있다. 다시 말해 A4가 만드는 구 껍질의 중심은 2차원에 있지 않다.
A4 종이 즉, 납작이 나라의 영토는 단지 구 껍질일 뿐이다. 그러므로 2차원 우주 크기는 껍질의 표면적만큼 유한하다. 그렇지만 경계는 찾아볼 수 없다. 따라서 경계 바깥의 정체는 질문의 대상이 될 수 없다.
우주의 중심은 어디인가? 우주에 경계가 있는가? 있다면 그 경계 바깥은 도대체 무엇이란 말인가?
보통 우리는 우주를 3차원으로 생각하고 어딘가에 존재할 우주의 끝을 상상한다. 아직까지 인류는 우주의 경계까지 가보지 못했다. 빅뱅 이후 우주가 어떤 지점을 중심으로 팽창하는지도 알아내지 못했다. 어쩌면 우리는 납작이처럼 생각하고 있는 게 아닐까? 어디까지나 우리가 존재하는 3차원에서는 우주의 경계와 중심을 정의할 수 없다. 왜? 우주는 4차원적으로 구부러져 있기 때문이다.
"4차원은 도대체 어떻게 정의해야 한단 말인가"
각 방향에 수직한 공간 변수 x축, y축, z축이 하나씩 늘어날 때마다 1차원에서 3차원까지 늘어났다. 3차원에서 생존해오고 진화해왔던 인류의 감각기관은 어디까지나 3차원의 것만 익숙할 뿐이지 그 이상의 차원을 인지할 수가 없는 태생적 한계를 안고 있다. 그 이상의 차원은 상상할 뿐이다.
그 상상을 이론으로 정리한 사람이 아인슈타인이다.
아인슈타인은 절대적으로 여겨져 왔던 시간과 공간을 상대적으로 보았다. 어디에서나 광속이 일정하기 때문에 시간과 공간이 함께 왜곡되어야 한다는 논리는 시간과 3차원 공간이 유기적인 관계로 엮여 있는 '시공간'이라는 4차원을 탄생시켰다.
더 나아가 아인슈타인은 뉴턴의 운동 법칙으로 설명했었던 중력을 '시공간의 왜곡'이라는 신박한 개념으로 설명하게 되는데, 이를 집대성한 이론이 바로 '일반 상대성 이론'이다.
일반 상대성 이론의 등가 원리
특수 상대성 이론은 관성계라는 특수한 상황에 대해서만 논한다. 일반 상대성 이론은 관성계가 아닌 비관성계까지 상대성 원리가 적용되도록 확장한 것이다.
일반 상대성 이론의 시작은 중력과 관성력이 같은 것이라는 '등가 원리'이다. 관성력은 가속 기준계(비관성계)에서 뉴턴 법칙을 적용하기 위해 도입한 가상의 힘이다.
물체가 있다. 정지한 관찰자(S)와 운동하는 관찰자(S')가 물체를 바라보는 위치 좌표는 다르게 정의될 것이다. 이때 위치 변수의 관계와 그에 따른 속도와 가속도 관계가 다음과 같이 정의된다.
①S'가 등속 운동하는 경우
A=0이 된다. 즉 S가 보는 S'가 보는 물체의 가속도는 a로 똑같다.
관성계에서 모든 물리 법칙이 동일하다는 갈릴레이의 상대성 원리와 일치한다.
②S'가 가속 운동하는 경우
a' + A = a → ma' + mA = ma → ma' = ma - mA
S' 입장에선 물체에게 ma 말고도 -mA라는 힘이 작용하는 것처럼 보인다. 이 -mA가 관성력이다. 이처럼 가속 기준계에서 모든 물체는 관성력을 받는데 관성력의 방향은 가속 기준계의 가속도 반대 방향이고 크기는 물체의 질량에 비례한다. 관성력이 가상의 힘이기는 하지만 가속 기준계의 관찰자에게는 실제로 측정 가능한 힘이며 이를 이용해 가속 기준계의 관찰자는 자신이 가속하고 있다는 사실을 인식할 수 있다.
이 관성력은 중력과 이런 점에서 비슷하다.
첫째 중력은 모든 물체에게 같은 방향으로 작용하고, 둘째 크기가 질량에 비례한다. 심지어 중력은 관성력처럼 기준계의 가속도에 따라 없어지기도 한다.
엘리베이터가 자유 낙하, 즉 가속도 g로 가속 운동하면 엘리베이터 안의 물체는 중력과 관성력의 크기가 같아져 알짜힘을 받지 않는 것으로 관찰된다. 중력이 사라진 것처럼 보인다. 그렇다면 관찰자는 중력과 관성력의 효과를 구별할 수 있을까?
아인슈타인은 과감하게 중력과 관성력을 본질적으로 같은 것으로 보고 구별할 수 없다는 등가 원리를 가정하고 일반 상대성 이론을 유도하였다.
그림에 나와있듯이 질량을 가진 물체는 주변의 시공간을 왜곡한다. 질량이 무거울수록 왜곡이 많이 된다. 따라서 이 구부러진 면을 따라 주변의 물체들이 이동하게 되고, 이러한 시공간의 왜곡이 중력, 더 나아가 만유인력의 원인이라고 주장한다. 이러한 아인슈타인의 주장대로라면 빛도 왜곡된 시공간을 따라 이동해야만 했다. 하지만 뉴턴 역학에 따르면 질량이 있는 물체에게만 중력; 만유인력이 작용했기에 아인슈타인의 시공간 왜곡 이론은 과학자들에게 영 허무맹랑한 소설로밖에 들리지 않았다. 빛이 휘는 걸 본다면 모를까..
차원의 왜곡
1차원에 어떤 존재가 살고 있다면, 그들은 서로를 '점'으로 볼 것이다. 왜냐하면 타자의 끝단만이 보이기 때문이다.
2차원의 존재가 자기 세계의 다른 존재를 본다면, 그를 '선'으로 볼 것이다. 왜냐하면 자신의 시야 안에 들어오는 것이 다른 존재의 가장자리 양 끝점일 것이기 때문이다.
3차원의 존재가 자기 세계의 다른 존재를 본다면, 그를 '면'으로 인식할 것이다. 우리는 세계를 입체로 경험한다고 느끼지만, 실은 사진을 보듯 2차원의 평면으로 본다. 지금 눈에 들어오는 아무 물건이나 집어 들어보자. 예를 들어 컵이라고 할 때, 우리가 앞면을 보면 뒷면은 시야에서 사라지고, 뒤로 돌려서 뒷면을 보면 앞면은 시야에서 사라진다. 그럼에도 우리가 컵을 3차원의 입체라고 느끼는 것은 우리의 뇌가 세계를 그렇게 해석해주기 때문이다. 3차원의 존재는 자신의 세계를 2차원으로 경험한다.
이처럼 특정 차원의 존재는 자신의 세계를 한 차원 낮은 단계로 경험하며, 자신이 살고 있는 세계보다 한 차원 높은 무언가를 인지할 수 없다. '시공간'은 명백히 4차원이니 우리 눈에는 이 시공간이 어떻게 왜곡되었는지 볼 방법이 없다.
'시공간의 왜곡'을 숱하게 표현하는 위의 그림은 어디까지나 2차원이 왜곡되어 만들어진 3차원처럼 3차원도 왜곡되면 이와 비슷하게 4차원이 될 것이라는 비유일 뿐이다. 2차원 면이 왜곡된 형태가 3차원이 됨을 납작이가 보지 못하듯이 우리도 3차원 공간이 왜곡된 형태가 4차원임을 상상만 할 뿐이지 볼 수는 없다.
아니나 다를까 빛이 정말 휜다는 게 밝혀졌다. 에딩턴이 개기일식 때 관찰한 자료의 등장을 기점으로 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 떡상한다. 이로써 '시공간'이라는 새로운 차원이 완전히 허무맹랑한 것이 아님이 밝혀졌다. 게다가 뉴턴이 설명하지 못한 만유인력의 원인은 질량에 의한 시공간 왜곡 때문이라는 아인슈타인의 의견에 힘이 실리게 된다.
"정신과 시간의 방이 가능할까?"
어떤 공간은 시간이 빨리 가고 어떤 공간은 시간이 느리게 간다는 게 말이 될까? 이 생각을 한다는 것 자체가 시간을 절대적으로 보고 있단 셈이다. 특수 상대성 이론에 의하면 광속에 근접하는 빠른 속력으로 움직이는 공간의 시간은 정지해 있는 공간의 시간보다 상대적으로 느리게 흐른다. 이건 팩트다. SF영화가 아니다. 특수 상대성 이론이 작동하기 때문에 우리가 GPS 서비스를 이용해서 포켓몬을 잡고 다녔다. 운동에 의한 시공간의 왜곡은 시간의 흐름에 변형을 가했다. 그렇다면 질량이 무거운 물체가 시공간을 왜곡한다면 그 주변의 시간도 느리게 가지 않을까?
등가 원리로 설명하는 중력에 의한 시간 지연
등가 원리에 의하면 중력(질량)과 관성(질량)은 같다. 따라서 진동수 f인 광자는 질량 hf/c^2를 가진 입자처럼 중력에 반응한다. 행성에 가까워질수록 진동수가 커지고 있다. 만약 행성의 중력 가속도 g가 크면 진동수는 더 커질 것이다. 진동수는 주기와 반비례하는 관계이므로 진동수가 커지면 주기가 짧아진다. 이는 시간이 느리게 간다는 걸 의미한다. 이때 행성의 중력 가속도는 천체의 질량에 비례하는데, 질량이 큰 천체에선 그만큼 시간이 더 느리게 감을 의미한다.
아인슈타인의 상대성 이론이 뷰리풀한 이유다. 딱딱 들어맞는 결과가 여기저기서 튀어나온다. 시공간이 왜곡된 정도가 클수록 시간은 느리게 흐른다. 즉 지구보다 질량이 큰 천체에선 시간이 느리게 흐른다. 어떻게 보면 '정신과 시간의 방' 같은 구조를 구현하는 것은 가능하긴 하다.
다만 '정신과 시간의 방'은 지구보다 중력이 큰 곳이라는 설정이었기에 사실 정신과 시간의 방에서 시간이 느리게 가야 한다. 따라서 만화의 설정이 반대로 바뀌어야 한다. 정신과 시간의 방에서의 하루가 밖에서는 1년이라는 식으로 말이다. 만화는 만화로 보자.
뉴턴의 운동 법칙을 지키기 위한 양자택일
뉴턴 역학에서는 서로 다른 관성 기준계에서 두 입자 사이의 충돌을 측정하더라도 운동량 보존 법칙이 잘 성립한다. 그러나 물체와 관찰자가 광속에 근접하는 빠르기로 움직인다면 기존의 운동량의 정의 P=mv를 사용했을 때 어떤 관성계에 있는 관찰자이냐에 따라 운동량이 보존 될 수도 있고 안 될수도 있는 모순이 생기게 된다. 그 이유는 물체와 관찰자가 광속에 근접하는 빠르기로 움직인다면 시간과 공간은 상대론적 관계에 따라 새롭게 정의되기 때문이고 그에 따라 상대 속도를 정의하는 식이 이상하게 바뀐다.
결국 과학자들은 운동량 보존 법칙을 폐기하는 대신 질량을 다시 정의함으로써 운동량을 수정하기로 합의를 본다. 운동하는 물체의 길이나 시간의 경과가 달라지는 것을 이미 겪었으니 새삼스럽지 않을 것이다.
어려운 수식과정을 막론하고 시간과 공간의 상대적 관계로 질량이 변해야 한다는 결론을 얻게 된다.
즉 정리하면, 뉴턴 제3법칙을 달리 표현한 운동량 보존 법칙에 의해서 질량이 상수값이 아니어야 하고, 에너지가 질량으로 변환될 수 있음을 새롭게 정의하게 된 꼴이다.
상대론적 에너지와 광자의 에너지
상대론적 상황에서 운동량이 수정되었다면 그에 기반한 에너지도 수정되어야 마땅하다.
물체의 전체 에너지를 E는 운동 에너지 K와 m0c^2의 정지 에너지의 합으로 정의된다. 이 식의 제곱과 상대론적 운동량의 제곱을 빼서 정리하면 다음과 같은 식이 나온다.
상대론적 운동량과 에너지 식을 보면 v=c인 경우 분모가 0이 되므로 운동량과 에너지 모두 무한대가 된다. 즉 질량이 있는 물체의 속력은 광속이 될 수 없다.
상대론적 운동량을 상대론적 에너지로 나누면
광속으로 움직이는 물체는 빛뿐이며 빛의 질량은 0임을 알고 있다.
블랙홀과 웜홀
아인슈타인은 만유인력의 법칙에 등장하는 거리의 제곱에 반비례하는 힘의 실체, 중력을 해석하는 데 몰두했다. 절대공간에서는 이러한 거리의 제곱이란 말이 아무 문제가 되지 않지만, 운동에 따라 달리 정의되는 상대성의 시공간에서 거리의 제곱이란 말은 의미를 상실하기 때문이다.
그는 4차원의 세계에서의 힘을 정의하기 위해 골몰한다. 직관적으로 이것이 우주에 존재하는 별과 같은 무거운 존재가 시공간을 휘게 하고, 그에 따라 휘어진 공간의 곡률의 정도에 비례하는 힘이 존재할 것이라고 생각한 것은 어렵지 않은 일이었을 것이다. 실제로 구형의 곡률은 반지름의 제곱에 반비례하기 때문이다. 이러한 기하학적 직관을 4차원의 정교한 수학으로 만들기 위해 그는 비유클리드 기하학을 10년 동안이나 공부했다. 마침내 그는 4차원 공간에서의 질량을 갖는 존재가 만드는 공간의 구부림과 그 구부림이 만들어내는 힘을 정의하는 우주 방정식을 유도해낸다.
왼쪽은 4차원 시공간에서의 가속도항을 나타내고 오른쪽은 만유인력을 나타내는 중력가속도다. 본질적으로 이 식은 뉴턴 방정식이 질량에 의해서 휘어지는 시공간에서 어떻게 표현되는가를 입증한다. 이 방정식의 특수해는 블랙홀로써, 아인슈타인이 초기에는 자신의 방정식이 틀린 것으로 생각했지만, 관측적으로 블랙홀의 존재가 입증되고 있다.
뿐만 아니라 아인슈타인은 시공간의 휨에 대하여, 빛의 경로가 질량이 큰 별 근처에서 휘어지는 것으로 측정이 가능함을 주장했는데, 이는 에딩턴의 개기일식으로 사실임이 판명되었다. 이로서 아인슈타인은 중력이 작용하는 가장 일반적인 방정식을 젊은 나이에 알게 된 것이다.
질량이 어마 무시하게 큰 천체가 있다면 그 천체 주위의 시공간은 엄청나게 왜곡될 것이다. 이 엄청난 왜곡으로 인해 빛조차도 빠져나오지 못하면 우리 눈에 보이지 않게 되는데, 이 천체를 블랙홀이라고 부른다. 블랙홀 내부에서는 중력이 너무나도 강하다 보니 시간이 느리다 못해 아예 정지해버린다.
'처음과 끝은 함께 공존한다.', '필시 들어가는 곳이 있으면 나오는 곳이 있다.'는 논리에 상상력이 더해져 웜홀과 화이트홀이라는 개념이 나오게 됐다. 블랙홀로 빨려 들어간 사물이 웜홀을 통해 이동하다가 화이트홀로 빠져나온다는 설명이다. 드라마 '별에서 온 그대'와 영화 '인터스텔라'에 웜홀이 등장한다.
2차원 표면에 3차원 공간에 존재하는 통로를 뚫어 2차원 도착지에 더 빨리 도달하게 됐다. 이처럼 우리가 살고 있는 3차원 우주도 4차원을 경유하는 길이 있지 않을까 상상한 개념이 웜홀이다. 윔홀을 통해 사과의 벌레처럼 차원을 관통하여 빠른 시간 안에 우주 저 멀리 이동할 수 있다면 얼마나 좋을까 공상에 빠져보게 된다.
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