중력과 역학적 시스템 ② {포물선 운동}

2024.02.29 - [2024 통합과학 톺아보기] - 중력과 역학적 시스템 ① {중력, 자유 낙하 운동}

중력과 역학적 시스템 ① {중력, 자유 낙하 운동}

판서 조직도

 

1. 수평으로 던진 물체의 운동

 

 

수평 방향으로 던져진 공은 그림과 같이 포물선 궤적을 그리면서 운동합니다. 포물선 궤적을 그리는 까닭은 이 운동을 수평 방향과 수직 방향으로 나눠서 분석하면 알 수 있습니다.

 

1) 수평 방향의 운동

 

같은 시간 간격 t 동안 공이 수평 방향으로 이동하는 거리는 파란색 길이 x만큼 같습니다.

 

 

위 식에 따라 공은 수평 방향으로 속력이 일정한 등속 운동을 합니다. 수평 방향으로 물체가 등속 운동하는 이유는 무엇일까요? 답은 뉴턴 운동 제1법칙 '힘이 작용하지 않는 물체는 정지해 있거나 등속 운동을 한다'에 있습니다. 그래요. 물체에 수평 방향으로 작용하는 힘 F이 0이기 때문이죠.

 

2) 수직 방향의 운동

 

같은 시간 간격 t 동안 공이 수직 방향으로 이동하는 거리, 분홍색 길이 y는 점점 길어집니다.

 

 

위 식에 따라 공은 수직 방향으로 속력이 점점 증가하는 운동을 합니다. 다시 말해 수직 방향의 운동 상태가 변한다는 것이고, 운동 상태가 변한다는 건 물체에게 수직 방향으로 힘 F이 작용함을 뜻합니다. 그렇다면 물체에 수직 방향으로 작용하는 힘은 무엇일까요?

 

(좌) 수평 방향으로 던져진 물체의 '시간-수직 방향 속력' 그래프           (우) 자유 낙하 운동의 '시간-속력' 그래프

 

물체의 수직 속력을 시간에 따라 나타낸 그래프는 중력에 의해 자유 낙하 운동하는 물체의 '시간-속력 그래프'와 똑같습니다. 눈치채셨나요? 물체에 수직 방향으로 작용하는 힘은 바로 중력입니다.

 

즉, 수평 방향으로 던져진 물체가 포물선 궤적을 그리는 까닭은 등속으로 운동하는 수평 방향의 경로와 자유 낙하하는 수직 방향의 경로가 종합되었고, 이때 각 방향의 운동이 서로에게 영향을 주지 않기 때문입니다. 중력은 오로지 수직 방향의 운동에만 관여해요.

 

2. 자유 낙하 운동 vs 수평으로 던진 물체의 운동

 

1) 누가 먼저 지면에 닿을까?

같은 지점에서 한 물체는 수평으로 던지는 동시에 다른 물체는 자유 낙하시킬 때 어떤 물체가 지면에 먼저 도달할까요? 혹자는 수평으로 던져진 물체가 처음 속력이 있는 것만큼 빨리 움직이기 때문에 더 빨리 도달한다고 말합니다. 혹자는 수평으로 던져진 물체가 더 긴 궤적을 움직이기 때문에 지면에 더 늦게 도달한다고 말합니다. 누구의 말이 맞을까요? 실험으로 확인해봅시다.

 

youtu.be/i8p44c4vMxY

 

사실 두 물체는 동시에 도달합니다. 이를 달리 말하면 두 물체는 같은 낙하 거리를 같은 시간 동안 움직였다는 겁니다. 앞서 말했듯이 포물선 운동의 수평 방향과 수직 방향은 각각이 서로에게 영향을 주지 않습니다. 지면까지의 낙하 거리(=수직 방향 이동 거리)는 오롯이 수직 방향의 운동에만 영향을 받지, 수평 방향의 속력과 수평 방향의 운동 거리의 영향을 받지 않아요. 그렇기 때문에 수평 방향으로 던져지는 속력이 있어서 더 빨리 떨어지고, 수평 방향으로 늘어난 거리만큼 지면에 도달하는 시간이 지연되는 일은 생기지 않아요. 정리하면 두 물체가 같은 시각에 같은 높이에서 운동을 시작한다면, 바닥에 도달하는 시간은 동일합니다.

 

2) '시간-속력 그래프'로 분석하는 두 물체의 운동

 

자유 낙하하는 물체와 수평으로 던져진 물체의 수직 방향 운동은 모두 '중력'에 의해서 발생하기 때문에 같은 높이에서 던져진 물체라면 같은 속력 변화를 띠며 운동합니다. 따라서 두 물체가 지면에 도달하는 데 걸린 시간은 같습니다.

 

 

자유 낙하하는 물체가 지면에 닿는 데 3초가 걸렸다면, 수평으로 던져진 물체 역시 같은 거리를 같은 속력 변화로 낙하하기 때문에 지면에 닿는 데 3초가 걸립니다.

 

3) 수평 방향의 속력이 변하는 경우

 

 

같은 높이에서 물체를 수평으로 던진다면 물체의 수평 방향 속력에 관계없이 물체들의 낙하 시간은 동일합니다. 다만 속력이 빠른 만큼 수평 이동 거리는 늘어나게 돼요. 그 이유는 아래 식에 있습니다.

 

 

해와 달 - 조성모

https://youtu.be/iCunQ2esdK4

 

난 이제 가는 길이야. 널 또 못 본 채로

내가 떠나야 올 수 있는 넌데 늘 숨바꼭질하듯 엇갈리잖아.
아마 세상이 끝나기 전에는 늘 이러겠지.

 

소원이 있어.
차라리 내가 지금 아주 작은 별이라면
슬픈 이별은 하지 않아도 될 텐데

보고 싶은 마음 모아서 너 오면 보라고 노을로 남길게.

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해와 달은 천체의 궤도 운동과 슬픈 짝사랑, 서로 완전히 달라 연결이 되지 않는 것처럼 보이는 사실들 사이의 유사함을 가사로 풀어낸 노래입니다. 이러한 창의성이 천상과 지상 사이에 다리를 놓았던 사례들을 알려드릴게요.

 

기하학으로 천상과 지상을 통합한 뉴턴

 

케플러는 태양계 행성들이 타원 궤도를 따라 움직인다는 걸 발견하고, 갈릴레이는 떨어지는 물체가 포물선 궤적을 그리며 움직인다는 걸 발견합니다. 이 각각의 발견들 역시 심오하며 대단하지만 천상의 타원과 지상의 포물선, 전혀 관련이 없어 보이는 두 운동의 기하학적 단일성이 발견됐다는 사실이 더욱 놀랍지 않나요?

 

타원과 포물선 모두 원뿔을 평면으로 가로지름으로써 만들 수 있음

 

그를 발견한 주인공이 바로 뉴턴입니다. 나무에서 떨어지는 사과와 하늘에서 돌고 도는 달처럼 서로 완전히 달라 연결이 되지 않는 것처럼 보이는 사실들 사이의 유사함을 찾아내는 능력. 바로 여기에서 뉴턴의 천재성이 드러나는 겁니다. 뉴턴은 궤도를 도는 것이 떨어지는 것의 한 형식임을 이해했고, 천상과 지상의 통합을 완성합니다.

 

제일 처음 굴을 먹은 사람은 누구일까?

 

조수 간만의 차와 시기는 한 달 내내 급격하게 변해서 어떤 때는 조수 간만의 차가 별로 크지 않지만, 또 어떤 때는 그보다 훨씬 크게 나타납니다. 이처럼 무작위로 나타나는 조류의 패턴은 고대 인류에게 오랫동안 수수께끼로 남았을 거예요. 사실 그들이 조류의 패턴을 쉽게 이해하지 못한 것은 어찌 보면 당연한 일입니다. 왜냐하면, 그에 대한 해답이 누가 봐도 전혀 상관없어 보이는 '밤하늘'에 있기 때문이죠.

 

 

즉 최초로 굴을 먹은 사람은 하늘을 주의 깊게 관찰한 고대의 천문학자입니다. 매일 밤 다양한 형태로 밤하늘을 찾아오는, 신비롭게 크고 하얗고 둥근 물체와 바다의 움직임 간의 연결고리를 파악하여 조류를 예측하게 된 그는 언제 바다에 가야 하는지 계획할 수 있었고, 이로써 굴은 안정적으로 구할 수 있는 주식의 한 부분이 될 수 있었죠. 이처럼 창의성은 꾸준한 관심과 지속적인 관찰에서 비롯됩니다. 오늘도 물리를 통해 인생을 배웁니다.

 

내용 체크 문제

1. 그림과 같이 건물의 서로 다른 층에서 질량이 같은 두 물체 A, B를 각각 수평 방향으로 던졌더니 수평면상의 같은 지점에 떨어졌다.

[보기]에 대한 설명 중 옳은 것은 ◯, 옳지 않은 것은 ×로 표시하시오. (단, 공기 저항은 무시한다.)

[보기] ㄱ. 던진 순간부터 수평면에 도달할 때까지 걸린 시간은 A가 B보다 길다. ……………………(   ) ㄴ. 던진 순간의 속력은 A가 B보다 크다. ……………………(   ) ㄷ. A에게 작용하는 중력의 크기가 B에게 작용하는 중력의 크기보다 크다. ……………………(   )

 

2. 그림은 물체를 수평 방향으로 10 m/s의 속력으로 던졌을 때 던진 순간부터 2초까지의 운동 경로를 나타낸 것이다.

0초에서 1초까지와 1초에서 2초까지의 물리량이 서로 같은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 공기 저항은 무시한다.)

[보기] ㄱ. 물체의 무게 ㄴ. 수평 방향으로 이동한 거리 ㄷ. 연직 방향으로 낙하한 거리

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

3. 그림과 같이 같은 높이에서 질량 2 kg인 물체 A를 가만히 놓고, 질량 1 kg인 물체 B를 수평 방향으로 던졌을 때 A의 속력은 1초에 10m/s씩 빨라지면서 낙하한다.

두 물체의 운동에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, 공기 저항은 무시한다.)

[보기] ㄱ. 지면에 닿는 순간 A의 속력은 B의 수직 방향 속력과 같다. ㄴ. 지면에 닿을 때까지 B에 작용하는 중력의 크기는 일정하다. ㄷ. A에 작용하는 중력과 B에 작용하는 중력의 크기는 같다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

4. 그림과 같이 높이가 같은 두 탑 위에서 물체 A를 수평 방향으로 20 m/s의 속력으로 던진 순간에 물체 B를 자유 낙하 시켰더니 1초 후에 지면에 닿기 전인 점 P에서 충돌하였다.

이 운동에 대한 설명으로 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, 자유낙하하는 물체는 1초 동안 10m/s씩 속력이 증가하고, 공기 저항은 무시한다.)

[보기] ㄱ. 충돌 직전 B의 속력은 10 m/s이다. ㄴ. 두 탑 사이의 거리는 20 m이다. ㄷ. A의 속력을 두 배로 하면 두 물체는 충돌하지 않는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ