시공간과 에너지(동시성의 상대성, 시간 지연, 길이 수축, 질량-에너지 등가 원리, 핵반응)

물리학Ⅰ 전개도

아웃라인

핵심 개념

①동시성의 상대성 ②시간 지연 ③길이 수축 ④질량-에너지 등가 원리 ⑤핵반응

목표 기출 문제

21년도 9월 모평 물리학1 11번

답: 3번

 

21년도 6월 모평 물리학1 17번

답: 3번

 

18년도 6월 모평 물리1 7번

답: 5번

 

20년도 6월 모평 물리1 5번

답: 4번

1. 특수 상대성 이론의 기본 원리

1) 특수 상대성 이론의 첫 번째 가정, 상대성 원리

시간의 흐름을 표현하라고 하면 '과거 - 현재 - 미래'의 순서로 쓰는 것에 아무도 반대하지 않을 것이다.

우리는 이처럼 시간을 1차원 직선형으로 생각하지만 엄밀하게 따지면 우리에게 시간은 0.5차원이다. 시간은 과거에서 미래로의 한 가지 방향으로만 흐르기 때문이다. 1차원의 시간이라면 미래에서 과거로도 시간이 흘러야만 한다. 물리학에서 시간은 수식 안에서 변수 t로 존재한다. 물체의 거시적 상황을 표현하는 에너지와 운동 특성은 물체의 질량 m과 물체에 가해지는 힘 F 그리고 시간 변수 t를 활용하여 도출되는 결과값으로 표현할 수 있다. 그 기저에 있는 식이 바로 'F=ma'이다. 만물의 운동을 기술하는 기준으로써 'F=ma'가 중요한 의의를 가질 수밖에 없는 이유다.

관성계

정지한 물체를 바라보는 두 종류의 관찰자가 있다. 정지한 관찰자 입장에선 물체가 그대로 정지해 있고, v로 움직이는 관찰자 입장에선 물체가 반대 방향으로 v로 등속 운동한다. 이처럼 관찰자에 따라 물체의 속도가 다르게 보이겠지만, 두 물체에게 작용하는 힘이 0이라는 사실까지 달라지는 건 아니다.(물체가 정지해 있거나 등속 운동을 한다는 건 그 물체에 작용하는 힘 F가 0이기 때문이다.)

 

즉 정지한 관찰자와 등속 운동하는 관찰자가 바라보는 세상에 속한 물체에겐 'F=ma'를 비롯한 모든 운동 법칙이 동일하게 적용된다. 이처럼 F=ma로 물체의 운동을 설명할 수 있는 정지한 세상과 등속 운동하는 세상을 '관성계'라고 하며 서로 다른 관성계에서 운동 법칙이 동등하게 적용됨을 '상대성 원리'라 하며, 이는 특수 상대성 이론의 첫 번째 가정이다.

2) 특수 상대성 이론의 두 번째 가정, 광속 불변 원리

특수 상대성 이론의 첫 번째 가정, 상대성 원리에 따라 4m/s로 움직이는 물체는 정지한 관찰자 입장에선 4m/s로 등속 운동하는 것처럼 보이고, 1m/s로 등속 운동하는 관찰자에겐 4-1=3m/s로 등속 운동하는 것처럼 보인다. 어떤 관찰자가 보아도 물체가 등속 운동하고 있으므로 물체에 힘이 작용하지 않음을 F=ma로 설명할 수 있다. 그런데 물체와 관찰자의 속력이 광속에 가까워지면 기묘한 현상이 벌어지게 된다.

마이켈슨과 몰리의 실험

빛이 c라는 속력으로 오른쪽 방향으로 진행하고 있다. 정지한 관찰자 입장에선 빛의 속력이 c로 보인다. 상대성 원리에 따르면 0.5c라는 속력으로 등속 운동하는 관찰자 입장에선 빛의 속력이 오른쪽으로 0.5c 만큼의 빠르기로 진행하는 것처럼 보여야 한다. 반대로 관찰자가 서쪽 방향으로 0.5c만큼의 빠르기로 움직이고 있다면 빛은 1.5c의 빠르기로 움직이는 것처럼 보여야 한다. 그러나 실제로 그러지는 않다. 마이켈슨과 몰리는 이제까지의 상식을 벗어나는 실험 결과를 마주하게 된다.

(좌)마이컬슨, 마이컬슨과 그의 조수 몰리의 실험 장치

마이켈슨과 몰리는 실험을 통해 어떤 관찰자가 보든 빛의 속력은 무조건 c로 동일함을 밝혔다.

 

아인슈타인은 마이켈슨과 몰리의 실험 결과를 통해 빛의 속력은 보통의 물체와 달리 관찰자의 운동에 관계없이 항상 일정한 절대적인 무언가라고 생각하며 마침내 모든 관성계에서 빛의 속력은 일정하다는 특수 상대성 이론의 두 번째 가정, 광속 불변 원리를 제시하였다.

 

이처럼 모든 관찰자에게 보이는 빛의 속력은 항상 똑같아야 하기 때문에 기묘한 현상 세 개가 나타난다. 바로 동시성의 상대성, 시간 지연, 길이 수축이다.

2. 특수 상대성 이론에 의한 현상

1) 동시성의 상대성

보통 어떤 사건이 '동시에 발생'했다고 하면 그 사건을 관찰하는 사람이 운동을 하든 정지해 있든 관계없이 모두가 그 사건은 동시에 발생했다고 생각하기 마련이다. 왜냐면 시간은 모든 관찰자에게 동일하게 흐르기 때문이다. 달리는 철수에게나 가만히 앉아 공부하는 영희에게나 1년은 365일로 같은 이치다. 이처럼 일상생활에서는 시간의 흐름이 절대적이었기 때문에, 속도가 상대적이었다. 하지만 빛의 속력에 근접할 정도로 빨리 움직이는 세상에서는 말이 달라진다.

①민수의 입장

우주선 안에 있는 민수 입장에서는 자기도 0.5c의 속력으로 오른쪽으로 가고 있고, 자기가 타고 있는 우주선도 0.5c의 속력으로 오른쪽으로 가고 있으니 민수 자신은 정지해 있다고 생각한다. 어쨌든 우주선 중앙에서 정지해 있는 민수가 빛을 동시에 쏜다. 그러면 각 빛들은 같은 거리를 각각 같은 속력으로 이동하기 때문에 민수 입장에서는 빛이 우주선의 양 끝에 동시에 도달한다고 생각한다. 이 사건은 민수 입장에선 명백히 동시에 일어났다.

 

②영희의 입장

지구에 있는 영희 입장에서는 우주선이 오른쪽으로 0.5c의 속력으로 움직이고 있다. 그리고 영희 입장에서 본 빛들은 오른쪽으로 진행하건 왼쪽으로 진행하건 속력의 크기가 c로 같아야 한다. 

따라서 영희 입장에서는 빛이 우주선 왼쪽 끝에 먼저 도달하고 이후에 빛이 우주선 오른쪽 끝에 도달한다고 본다. 따라서 이 사건은 영희 입장에선 명백히 동시에 발생하지 않았다.

 

결론은 어떤 이에게 동시에 발생한 사건이 또 다른 누구에겐 동시에 발생한 사건이 아니게 된다.

이처럼 빠르게 움직이는 물체의 상황에서는 (빛의) 속도가 절대적이고, 시간의 흐름이 상대적이게 돼 버린다. 이와 유사하게 시간의 흐름이 뒤틀리는 또 다른 사례를 알아보자.

2) 시간 지연

민수와 영희는 빛이 우주선의 위아래를 왕복하는 데 걸리는 시간을 측정했다.

 

①민수 입장

민수 입장에서 빛이 왕복하는 경로가 2l이다. 따라서 빛의 왕복 시간△t는 2l/c이다.

 

②영희 입장

영희 입장에서는 빛이 왕복하는 경로가 대각선 길이 2l'이다. 2l보다 길다. 그래서 빛이 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간 △t'는 2l'/c이다. 영희가 보든 민수가 보든 빛의 속력은 c로 일정하다는 광속 불변 윈리를 잊지 말라.

 

영희가 봤을 때 빛이 위아래를 왕복하는 데 걸리는 시간을 5초, 민수가 봤을 때 시간을 3초라고 가정하겠다.

왜 이런 일이 일어난 걸까? 민수의 세상(움직이는 관성계)에서는 '시간의 간격'이 늘어났기 때문이다. '시간의 간격'이 늘어났다는 건 시간의 흐름이 느려진 거다. 영희 세상에선 '똑-딱'거렸을 시간 간격이 민수 세상에선 '또옥~따악'으로 늘어난 거다. 시간이 이렇게 느리게 흐르다 보니 5초 걸릴 시간이 3초가 된 것이다.

 

즉 영희에 대해 움직이고 있는 민수의 시간은 느리게 흐른다. 이처럼 정지한 관찰자가 보는 움직이는 물체에서의 시간은 느리게 흐른다. 이를 '시간 지연' 현상이라고 한다. '시간 지연'을 '시간 팽창(=시간 간격의 팽창)'이라 부르는 책도 있으니 참고해라.

 갈릴레이의 상대성 원리

정지한 영희 입장에서는 철수가 움직이고 있으니 철수의 시간이 느리게 간다.

하지만 철수 입장에서는 영희가 움직이는 것처럼 보이지 않겠는가? (상대성 원리)

그래서 철수 입장에서는 영희의 시간이 자기의 시간보다 느리게 간다.

포인트는 '누가 보냐에 따라 움직이는 물체의 운동 상태가 결정되고, 관찰자가 보기에 움직인다고 판단되는 물체의 시간이 느리게 흐르는 걸로 측정된다.'이다.

쌍둥이 역설

쌍둥이 중 한 명(A)은 지구에 남아있고, 한 명(B)은 머나먼 행성으로 우주선을 타고 떠난다. B가 지구로 귀환하는 순간 모순이 생긴다. 이 모순은 아래 그림과 같은 논리에서 시작된다.

A의 입장에는 B가 움직이므로 B의 시간이 더 느리게 간다. 따라서 B가 지구로 귀환했을 때 A입장에선 B가 젊어 보여야 한다. 하지만 B의 입장에는 A가 움직이기에 A의 시간이 더 느리게 가므로 B입장에선 A가 젊어 보여야 한다. 누가 맞는 말을 하고 있을까?

 

특수 상대성 이론은 '관성계'라는 특수 상황에서만 설명되는, 말 그대로 특수한 상대성 이론이다. (범용적인 상황에서의 상대성 이론은 일반 상대성 이론이다.) 따라서 특수 상대성 이론으로 설명되는 시간 지연 현상은 '관성계'에서만 관찰되는 현상이다. 지구에 남아있는 A는 정지해 있으므로 '관성계'에 해당하지만, 우주선을 타고 돌아오는 B는 '관성계'가 아니다. 왜? 관성계는 정지하거나 등속 운동하는 계이다. B가 행성을 찍고 지구로 돌아오는 순간 방향을 틀었기 때문에 속도가 변해버렸다. B의 세상은 정지도 아니고 등속 운동도 아니기에 관성계가 아니다. 따라서 B의 세상에서는 시간 지연이 나타나지 않는다.

3) 길이 수축

움직이는 물체의 세계에서 시간이 뒤틀렸다. '광속 불변 원리'라는 두 번째 가정 때문에 시간이 뒤틀리면 공간도 뒤틀려야 한다. 시간의 흐름이 늘어진 만큼 공간이 수축되어야 빛의 속력이 일정하게 유지됨을 눈치챌 수 있다.

영희 입장에서는 우주선과 민수가 움직이고 있으니 영희가 본 우주선과 민수의 수평 길이는 원래 길이보다 짧게 보인다. 반대로 민수 입장에서는 영희가 움직이고 있으니 영희의 수평 길이는 원래 길이보다 짧게 보인다. 길이 수축은 물체의 운동 방향으로만 일어난다. 따라서 운동 방향에 수직한 방향으로는 길이 수축이 일어나지 않는다.

길이 수축으로 설명하는 전자기력

특수 상대성 이론은 평행한 전류 사이에 작용하는 자기력의 기원을 공간의 수축으로 설명한다.

일단 같은 방향으로 전류가 흐르는 두 도선 사이에서 자기적 인력이 발생하는 이유를 길이 수축 현상으로 설명하겠다. 

(b) 같은 방향으로 흐르는 두 전류 사이에는 자기적 인력이 발생한다.

(c) 도선 1의 전자 입장에서 도선 2의 전자도 같은 방향으로 움직이므로 전자는 정지해 보일 것이다. 따라서 전자 입장에선 도선 2의 양전하만 움직이므로 양전하의 간격이 수축이 되는 것처럼 보인다. 따라서 국지적으로 도선 2에 양의 전기를 띠게 되므로 전기적 인력이 발생한다. 

(d) 도선 1의 양전하 입장도 마찬가지다. 전자만 움직이는 것처럼 보이므로 전자 간격이 수축하여 도선 1의 양전하 입장에서 도선 2에 음의 전기를 띠게 되므로 전기적 인력이 발생한다.

 

이처럼 특수 상대성 이론의 또 다른 업적은 전기와 자기 사이의 관계를 규명했다는 것에 있다. 바로 전기력과 자기력이 서로 다른 힘이 아니고 같은 힘임을 증명한 것이다.

뮤온의 운동

우주선(cosmic ray)중 뮤온은 지상 10km 위에서 생성되어 소멸된다. 뮤온은 엄청 빠른 속력으로 내려오지만, 수명(생성-소멸)시간이 워낙에 짧아 지표면에 닿기도 전에 소멸되어야 한다.

그러나 실제로는 지표면에서 뮤온이 발견된다. 그 이유는 무엇 때문일까? 포인트는 뮤온이 광속에 가까운 속력으로 움직인다는 사실이다. 따라서 뮤온의 운동은 고전론적 입장이 아닌 상대론적 입장으로 접근해야 한다.

따라서 어떤 관측자가 보든지 뮤온이 지표면에 도달해야 한다는 결론에는 차이가 없다.

고유 시간과 고유 길이

딱히 중요한 내용은 아닌데, 간혹 모의고사 문항에 가끔 나오는 단어다 보니 정리하도록 하겠다. 주어진 문제 상황에서 고유 시간과 고유 길이가 어떤 느낌인지 알면 되겠다.

 

①고유 시간

한 관성계의 동일한 장소에서 두 사건이 발생했을 때, 그 관성계에서 측정한 사건 사이의 시간 간격

위의 상황에서는 빛 왕복이라는 두 사건이 민수 입장에서는 같은 장소(우주선)에서 발생하므로 민수가 측정한 빛 왕복 시간이 '고유 시간'이다. 다만 영희가 바라봤을 때는 민수와 빛이 함께 상대적으로 움직이고 있으므로 '시간 지연'이 발생한다. 이때 고유 시간과 시간 지연의 차이는 아래 그림과 같다.

그림이 의미하는 건 민수 자신에겐 시간이 똑딱거리며 가지만, 영희 입장에서는 민수가 움직이고 있으므로 영희 딴에 민수의 세상에서는 시간이 또옥따악 거리며 간다고 판단하는 것이다. 민수 본인에게 있어 시간 흐름에 아무 문제없는데 영희가 그렇게 보는 것이다. 

뮤온 생성과 소멸이라는 두 사건이 뮤온과 함께 움직이는 관찰자 입장(Z)에선 같은 장소 (뮤온)에서 발생하므로 Z가 측정한 뮤온 생성-소멸 시간이 고유 시간이다. 다만 지표면 관찰자가 바라봤을 때는 Z와 뮤온이 함께 상대적으로 움직이고 있으므로 시간 지연이 발생하여 뮤온의 수명이 늘어난 것처럼 생각한다.

 

②고유 길이

한 관성계에 대해 고정된 두 지점 사이의 길이

민수 입장에서 우주선은 정지해 있으므로 우주선의 처음과 끝은 고정되어 있다. 따라서 민수 입장에서 우주선의 길이가 고유 길이다. 하지만 영희 입장에서는 우주선이 움직이고 있으므로(우주선의 처음과 끝이 영희 입장에서는 고정되어 있지 않음) 길이 수축이 일어난다.

 

만약 우주선이 행성 A에서 행성 B로 가고 있다면 이 행성 A와 B의 거리는 영희 입장에서 고정된 두 지점이므로 행성 간의 거리는 영희 입장에서 고유 길이다. 하지만 민수 입장에서 행성 A와 B가 상대적으로 움직이고 있으므로(행성 A와 B의 위치가 민수 입장에서는 고정되어 있지 않음) 길이 수축이 일어난다.

뮤온 생성과 소멸이라는 두 사건 지점이 지표면 관찰자 입장에선 고정되어 있으므로 지표면 관찰자가 본 높이가 고유 길이다. 다만 뮤온과 함께 움직이는 관찰자(Z)가 바라봤을 때는 생성-소멸 지점이 함께 상대적으로 움직이고 있으므로 높이의 길이가 수축이 일어나는 것처럼 본다.

3. 질량-에너지 등가 원리

1) 질량과 에너지의 관계

질량은 물체의 고유한 양으로, 운동 상태와 관계없이 일정한 물리량이었다. 에너지는 서로 다른 형태로 전환되지만, 고립된 계에서 그 양이 보존되는 물리량이었다. 이처럼 뉴턴 세계관에서는 질량과 에너지는 개별적으로 보존되는 독립적인 물리량이었다. 그러나 빛의 속력만큼 빠른 세상에서는 그렇지 않았다.

질량 m인 물체에 일을 한만큼 물체의 운동 에너지는 증가한다. 따라서 물체에 ∞의 일을 할 수 있다면 물체의 질량이 변하지 않으므로 물체의 속력이 ∞로 빨라져 광속을 초월할 것이다. 하지만 이런 일은 절대 일어나지 않는다. 특수 상대성 이론에 따르면 빛의 속도보다 빠른 물질은 존재하지 않기 때문이다. 속도의 최댓값이 광속으로 제한된다면, 무엇의 증가가 공급되는 일의 양에 따라 늘어나는 운동 에너지를 설명할까? 경우의 수는 하나뿐이다. 바로 질량의 변화다. 관찰자에 대해 매우 빠르게 움직이는 세상에선 시간 흐름과 공간의 크기가 변하듯이 질량도 변하는 것이며 그 질량 변화는 에너지와 밀접한 관계에 있다.

실제로 정지한 물체의 질량과 운동하는 물체의 질량은 각각 다르게 측정되며, 물체의 속력이 빨라질수록 물체의 질량은 증가한다. 그 이유는 물체에 한 일, 즉 에너지의 일부가 질량으로 변환되었기 때문이다. 아인슈타인은 더 이상 질량과 에너지를 개별적으로 보존되는 물리량으로 보지 않고 이 둘이 서로 변환되는 상호 의존적인 관계로 보았고, 이 둘의 관계를 다음과 같은 식으로 정리하였다.

이 아이디어 탄생을 기점으로 인류는 더 이상 석탄을 태우지 않고 돌과 물을 태워 에너지를 얻을 생각을 하게 되었다.

2) 핵반응

핵반응에서 나오는 에너지의 크기는 핵의 질량 변화, 즉 아인슈타인의 질량-에너지 등가 원리를 따른다.

①핵분열

 

핵분열은 무거운 원자핵이 두 개나 그 이상의 가벼운 원자핵으로 바뀌는 핵반응이다. 핵분열이 일어나면 총질량이 감소하게 된다. 이때 질량 결손이 에너지로 전환되어서 방출된다. 이때 감소한 질량과 방출되는 에너지의 관계는 밑의 식으로 설명된다.

 

△m: 반응 시 감소한 질량

핵분열 후 발생하는 중성자가 또 다른 핵분열을 유도하면 연쇄 반응으로 계속 핵분열이 일어나게 된다.

이 핵분열을 원자력 발전으로 활용하고 싶다면 연쇄 반응 속도를 느리게 하면 되고, 핵폭탄으로 활용하고 싶다면 연쇄 반응 속도를 빠르게 하면 된다. 이때 연쇄 반응 속도를 느리게 하는 물질을 감속재라고 하는데, 정확히 말하면 감속재는 중성자의 속력을 낮추어 연쇄 반응 속도를 느리게 한다.

둘 다 원리는 핵분열로 똑같다.

②핵융합

핵융합은 핵분열과는 반대로 가벼운 원소의 원자핵을 서로 결합하여 보다 무거운 원자핵을 만드는 핵반응이다.

수소 핵융합 과정

이때도 반응 후에 총질량은 감소한다. 이때 질량 결손이 에너지로 전환되어서 방출된다. 이때 감소한 질량과 방출되는 에너지의 관계는 밑의 식으로 설명된다.

 

△m: 반응 시 감소한 질량

이런 핵융합은 온도가 매우 높고 압력이 매우 높은 환경에서 일어난다. 가령 태양의 핵(core)같은 곳?

태양

태양의 핵융합 반응에서는 수소가 타서 헬륨이 되는 다단계 과정이 일어난다. 즉 수소가 "연료"이고 헬륨이 "타고 남은 재"이다.

핵반응 보존식

핵반응 때 발생하는 에너지의 출처는 질량 감소분이었다. 이처럼 핵반응 전후 총질량은 보존되지 않지만 보존되는 물리량들이 있다. 바로 핵반응 전후 질량수의 합과 원자번호의 합이다.

	반응전	반응후
질량수 합	235 + 1	94 + 139 + 3
원자번호 합	92 + 0	36 + 56 + 0

도전 기출 문제

22년 수능 물리1 14번

답: 4번