[고급물리학] 양자 역학 ② {불확정성 원리, 보어의 원자모형}

2022.06.13 - [2024 고급물리학] - [고급물리학] 양자 역학 ① {흑체 복사, 광전 효과, 콤프턴 산란, 데이비슨-거머 전자 산란 실험}

[고급물리학] 양자 역학 ① {흑체 복사, 광전 효과, 콤프턴 산란, 데이비슨-거머 전자 산란 실험}

 

학습 목표

• 상보성 원리와 불확정성 원리에 대해 설명할 수 있다.
• 보어의 양자 가설에 의한 원자 모형을 설명할 수 있다.
• 전자 궤도에 따른 에너지 양자화의 개념을 설명할 수 있다.
• 원자의 구조에 대한 모형이 어떻게 발전되어 왔는지 설명할 수 있다.

물리학 전개도

 

뉴턴의 운동법칙과 중력법칙은 산업혁명의 기초가 되었고, 마이클 패러데이와 제임스 클러크 맥스웰의 전자기학은 전기모터와 발전기로 도시의 밤을 밝히고 TV, 라디오 등 다양한 통신수단을 창출했습니다. 또한 아인슈타인의 질량 에너지 등가 원리는 별의 에너지원을 설명하여 핵에너지 시대를 열었으며 슈뢰딩거와 하이젠베르크를 비롯한 일단의 물리학자들은 양자이론의 비밀을 밝힘으로써 컴퓨터와 레이저, 인터넷을 비롯하여 오늘날 일반 가정집 거실에 있는 각종 첨단 장비의 이론적 기초를 제공했습니다.

 

판서 조직도

1. 보어의 상보성 원리

빛의 회절과 간섭은 오로지 빛의 파동성에 의해서만 설명됩니다. 마찬가지로 광전 효과와 콤프턴 산란은 빛의 입자성에 의해서만 설명되고요. 즉, 한 실험에서 빛의 파동성과 입자성이 동시에 나타나지 않습니다. 물질 역시 입자성과 파동성이 동시에 나타나지 않습니다. 이처럼 빛이나 물질의 행동은 서로 배타적인 관계에 있어요. 따라서 빛이나 물질의 행동을 충분히 이해하려면 입자성과 파동성 모두를 고려해야 합니다.

닐스 보어

 

보어는 서로 배타적이면서도 상호 보완적인 관계를 '상보성의 원리'라 정의하였습니다. 상보성의 원리는 미시 세계의 중요한 특징으로 다음에서 살펴보게 되는 불확정성 원리도 이의 한 사례입니다.

 

하이젠베르크의 불확정성 원리

물체를 본다는 것은 물체에서 반사된 빛을 보는 것입니다. 우리는 물체에서 빛이 반사되는 동안 물체의 위치가 변한다고 생각하지 않죠. 이처럼 고전 물리학에서는 관측 대상과 관측 행위가 철저히 독립적입니다. 따라서 모든 관측은 원리적으로 얼마든지 정밀할 수 있다고 전제합니다. 그러나 미시 세계에서의 빛은 운동량을 가진 입자이기 때문에 빛 입자와 관측 대상의 충돌로 인한 위치 교란의 여지를 생각해야 합니다.

 

 

그림 1.7과 같이 아주 긴 줄의 한쪽 끝을 잡고 줄 파동을 만들었습니다. 그런데 만일 누군가가 여러분에게 "파동이 정확하게 어디에 있나?"하고 물어본다면 여러분은 답을 말할 수 없습니다. 파동이란 것은 정확하게 어디에 있는 것이 아니기 때문이죠. 그것은 수십 미터 범위에 걸쳐 쭉 퍼져 있는 겁니다. 반면 그 사람이 파장이 얼마냐고 물었다면 "아마도 2m 정도 되지 않겠나"라는 답을 말할 수 있습니다.

 

 

하지만 그림 1.8과 같이 펄스를 만든 경우에는 "파동이 어디에 있지?"가 말이 되는 질문이고, "파장이 얼마인가?"는 말이 안 되는 질문입니다. 이 경우에는 로프의 움직이는 모습이 전혀 주기적이지 않기 때문이죠.

 

파동의 위치가 측정되면(△x=0) 파장의 정의가 불가해짐에 따라 운동량의 불확정성(△p=∞)은 커지게 되며, 정확한 파장이 측정되면 운동량이 정의되지만(△p=0), 위치의 불확정성(△x=∞)이 커지게 됩니다.

 

하이젠베르크의 불확정성 원리

 

① 불확정성 원리의 또 다른 예시

 

 

 

입자의 위치를 측정하기 위해(△x=0) 파장이 짧은 빛(=분해능이 좋은 빛)을 입사하면 높은 운동량으로 인해 입자가 튕겨나가면서 원래 속도를 알 수 없게 되며(△p=∞), 반대로 입자의 속도를 측정하기 위해 운동량을 최소로 한 긴 파장의 빛을 입사시킨다면(△p=0) 파장이 길다 보니 입자를 건너뛰게 되어 입자의 위치를 모르게 됩니다.(△x=∞)

 

② 불확정성 원리의 또 다른 예시

빛을 쬐어 전자의 위치를 현미경으로 관찰하는 다음의 실험을 가정해봅시다. 전자의 위치는 전자에 의해서 산란되는 광자에 의해 결정돼요. 분해능 식에 따르면 D 정도 이내의 거리는 구별하지 못합니다.

 

③ 불확정성 원리의 또 다른 예시, 핵력

불확정성 원리는 위치와 운동량의 짝뿐만 아니라 에너지와 시간의 짝에 대해서도 성립합니다.

에너지와 시간의 불확정성 원리를 이용하여 핵력을 직관적으로 설명할 수 있어요. 일본 물리학자 유카와는 '중간자'라는 입자의 교환이 강력을 유발한다고 생각했습니다. 유카와에 따르면 모든 핵자들은 지속적으로 중간자를 내놓고 또 재흡수합니다. 이 과정에 수반되는 운동량의 전달은 힘의 작용, F=△p/t과 대등해요. 대강의 비유를 보도록 합시다.

중간자를 파이온이라 한다.

 

농구공을 주고받는 두 소년을 생각해봅시다. 각기 상대편에게 공을 던진다면 소년들은 뒤로 물러서게 될 것입니다. 그리고 그들에게로 던져진 공을 잡을 때 뒤로 향한 운동량이 다시 증가하게 됩니다. 따라서 이런 방법의 교환은 소년들 간에서 반발력과 같은 효과를 줘요. 만약 소년들이 서로 공을 뺏는다면 결과는 두 소년 사이에서 작용하는 인력과 같게 됩니다. 근본적인 문제가 여기서 생겨요. 만약 핵자들이 계속하여 중간자를 방출하고 흡수한다면 어째서 핵자들이 다른 질량으로 측정된 적이 단 한 번도 없다는 점입니다.

해답은 '에너지-시간 불확정성 원리'에 있어요. 핵이 질량의 변화 없이 중간자를 방출할 수 있는 경우는 에너지 보존 법칙에 위배됩니다. 그러나 핵자가 이를 방출하고 재흡수하는지 모를 정도의 빠른 시간 내에 과정이 진행된다면, 즉 지속시간이 h/2△E 만큼이라면 에너지의 양이 △E만큼 보존되지 않을 수 있다는 것이죠.

 

물체가 크기와 형태를 가지는 이유

불확정성 원리에 의해 물질을 이루는 입자 사이의 거리를 줄이면 위치의 불확정성이 줄어드는 만큼 운동량의 불확정성은 커집니다. 운동량의 불확정성에 비례해서 증가하는 에너지의 불안정, 즉 물질이 불안정해진다는 것이죠. 서로 반대 전하를 가진 원자핵과 전자는 서로 끌어당기지만, 결코 만나지는 못합니다. 가까워질수록 줄어드는 전기 에너지와, 불확정성 원리 때문에 커지는 운동 에너지 사이에 타협이 이뤄지는 거리에서 안정된 상태를 이루어 서로를 맴돌게 되죠. 덕분에 원자가 크기를 가지게 되는 것이고, 삼라만상이 형태를 띠는 것입니다.

 

확률만이 존재하는 미시 세계

불확정성 원리를 표현하는 부등식의 오른쪽은 플랑크 상수입니다. 이 양은 거시적인 세계에서 보면 한없이 작은 양이어서 실질적으로 0이나 마찬가지예요. 따라서 거시 세계에서는 불확정성 원리가 적용되지 않습니다. 그러다 보니 거시 세계에서는 입자의 물리적 특성(ex:위치, 운동량)들이 하나의 값으로 결정될 수 있어요. 그러나 미시 세계에서는 하나의 물리량이 정확한 값으로 결정되면, 또 다른 물리량은 불확정 분포 밴드에 확률적 형태로 존재할 수밖에 없습니다. 미시 세계 입자들은 입자성보다는 파동성이 우세했습니다. 파동이란 에너지가 시공간에 퍼져 있는 형태죠. 그렇다 보니 입자의 파동성에 기인한 운동 정보(ex: 운동량, 에너지) 역시 시공간에 퍼져 있는 형태일 겁니다. 이는 미시 입자의 운동 정보는 확률적 형태로 시공간에 존재한다는 걸 의미해요.

 

2. '톰슨 - 러더퍼드 - 보어'까지의 원자 모형 변천사

1) 아인슈타인이 입증한 돌턴의 원자론

날씨에 대한 돌턴의 관심이 원자론의 근원이었습니다. 특히 '비'에 유별난 관심을 보였죠. 영국 북서부는 다른 지역보다 습해요. 돌턴은 이슬비가 내리는 호수로 종종 산책하러 나갔는데, 습도가 얼마나 높았는지 이런 의문을 떠올리곤 했습니다. "이 축축한 공기 속에 습기가 더 흡수될 여지가 남아 있을까?" 돌턴을 원자론으로 이끈 것은 바로 이 질문이었어요. 그러나 19세기 초에는 원자를 본 사람이 아무도 없었습니다. 원자를 보여주는 초강력 현미경은 그로부터 거의 200년이 지난 21세기에 발명되었거든요. 당시 대부분의 과학자들은 앞으로 세월이 많이 흘러도 결코 인간은 원자를 볼 수 없을 것이라고 생각했어요. 이런 열악한 상황에서 돌턴은 무슨 수로 원자의 존재를 입증할 수 있었을까요?

 

원자의 존재를 입증한 브라운 운동

돌턴의 아이디어는 시대를 너무 앞서갔기 때문에 정당한 대접을 받지 못했습니다. 그 후로 원자론은 거의 100년 동안 숱한 논쟁을 야기하다가 아인슈타인에 의해 마침내 정설로 자리 잡게 돼요.

 

물리학의 한쪽 진영에서는 모든 물질이 원자로 이루어져 있다고 주장하고, 반대 진영에서는 원자란 상상의 산물일 뿐이며 실제로 모든 물질은 최소 단위 없이 연속적이라고 주장하고 있었습니다. 물질이 연속적이라면 무한정 작게 자를 수 있겠죠. 즉 모든 물질은 무한개의 무한히 작은 조각들로 이루어져 있다는 뜻입니다. 만일 이것이 사실이라면 물 위에 떠 있는 꽃가루 입자는 아인슈타인의 방정식에 의해 조금도 움직이지 않아야 합니다. 물 분자의 수가 무한대라면 꽃가루 입자와 부딪히는 물 분자의 개수도 모든 방향에서 같을 것이므로 꽃가루 입자에 가해지는 힘이 모두 상쇄되어 정지 상태를 유지해야 해요. 그러나 물 위에 뜬 꽃가루 입자는 분명히 움직입니다. 다시 말해서, "브라운 운동이 일어나는 이유를 설명하려면 원자의 존재를 받아들일 수밖에 없다"는 것을 청년 아인슈타인이 증명한 거죠. 

 

2) 더 이상 쪼개지지 않을 원자를 쪼개다, 전자를 발견한 톰슨

 

톰슨

 

음극선에 매료된 톰슨은 그 정체를 밝히기로 마음먹었습니다. 당시 과학계에서는 음극선의 정체를 놓고 두 가지 주장이 대립하고 있었는데, 한쪽 진영은 음극선이 라디오파나 빛, 또는 X선 같은 전자기파의 일종이라고 주장했고, 다른 진영은 이온처럼 음전하를 띤 입자의 흐름이라고 주장했습니다. 톰슨은 자기장을 이용해 음극선의 질량을 측정함으로써 음극선이 "원자보다 훨씬 작으면서 음전하를 띠는 입자"임을 역설했어요. 톰슨은 "더 이상 쪼갤 수 없는 원자"보다 더 근본적인 무언가를 엿보게 된 것입니다. 톰슨은 전자의 최초 발견자이자, 원자 모형을 최초로 제안한 사람이에요. 그는 이 공로를 인정받아 1906년에 노벨 물리학상을 수상합니다.

 

톰슨의 원자 모형에 따르면 원자 내부에 양전하가 균일하게 분포되어 있고, 그 속에 전자 입자가 건포도처럼 박혀있습니다. 톰슨의 원자모형은 원자가 전자를 포함하면서도 전기적으로 중성임을 설명해요.

 

3) 더 이상 쪼개지지 않을 원자를 쪼개다, 원자핵을 발견한 러더퍼드

러더퍼드의 원자핵 발견

 

톰슨의 원자모형에 근거하여 알파 입자 대부분이 그대로 금박을 통과할 것이라는 예상과 달리 유의미한 개수의 알파 입자들은 아주 큰 각도로 산란될 뿐만 아니라 심지어 어떤 것은 아예 반대 방향으로 되튕겨나왔어요.

가장 당혹스러웠던 사람은 실험의 모든 부분을 설계한 러더퍼드였습니다. 그는 실험에 충격을 받은 후로는 한동안 출근도 하지 않고 자택에 두문불출하면서 실험결과를 수없이 되새겨 보았어요. 1년 6개월이 지나고 마침내 러더퍼드는 답을 찾아냈습니다.

 

 

알파 입자가 큰 각도로 산란되기 위해서는 강력한 힘이 알파 입자에 작용해야 했기에 러더퍼드는 원자의 질량과 양전하가 원자 내의 작은 부피에 집중되어 있다고 보았습니다. 그 후 계속된 연구 결과에 의해 원자 내부 중심에 원자핵이 있음을 알게 되었어요. 그래서 러더퍼드는 가운데 원자핵을 중심으로 전자들이 공전하는 새로운 원자모형을 제안합니다. 다시 말해 원자는 작은 태양계와도 같았어요. 더 이상 원자는 그의 옛 스승이었던 톰슨의 원자모형처럼 건포도가 박힌 푸딩이 아니게 됐습니다.

 

러더퍼드 원자 모형의 한계

 

러더퍼드 원자 모형: 원자핵 주위를 원운동하는 전자/ 러더퍼드 원자모형의 한계

 

그러나 러더퍼드의 원자 모형은 다음 문제점에 봉착하게 됩니다. 러더퍼드 원자모형에 따르면 전자는 원운동을 하면서 계속 운동 방향이 바뀌기 때문에 가속 운동을 합니다. 고전 전자기학에 의하면 가속 운동하는 전하는 전자기파를 방출해요. 그렇게 전자기파를 방출하며 에너지를 잃어가는 전하는 결국 원자핵과 만나게 됨으로써 원자는 붕괴됩니다. 그러나 원자는 굉장히 안정적이죠. 게다가 가속 운동하는 전자의 궤도 반경이 연속적인 줄어들게 되면 방출되는 빛 역시 연속적인 스펙트럼을 보여야 할 건데 실제로는 불연속 선 스펙트럼이 나타납니다. 러더퍼드의 원자 모형으로는 이러한 두 가지 문제점을 설명할 수 없기 때문에 새로운 원자 모형이 필요하게 되었어요.

 

4) 전자의 궤도를 설정하다, 보어의 원자 모형

 

아인슈타인이 특수상대성이론을 만든 이후로부터 10년 간의 노력을 거쳐 일반상대성이론으로 확장하는 동안, 속된 말로 아인슈타인이 시공간에 정신이 팔려있었던 덕분에 유럽의 젊은 과학자들은 빛과 원자의 상호작용 문제를 차분히 들여다볼 기회를 누릴 수 있었다는 생각도 듭니다. 아인슈타인이 그 유명한 우주방정식을 발표한 1913년, 덴마크의 젊은 이론가 닐스 보어는 원자-빛 상호작용에 관한 혁신적인 모델을 세상에 발표합니다.

 

3. 보어의 수소 원자 모형

1) 원자의 안정성 설명, 전자의 정상 궤도 정의

 

그림에서와 같이 전자와 원자핵과의 전기적인 인력이 구심력으로 작용하여 전자는 원자핵 주위를 원운동 합니다. 전자의 전하량과 질량이 각각 e, m이고 핵을 중심으로 r만큼 떨어져 v의 속력으로 회전하고 있다면 밑의 식을 만족해요.

 

여기서부터 중요합니다. 보어만의 통찰이 개입된 가정이기 때문이죠. 원자의 안정성과 선 스펙트럼을 위해 그는 고전 전자기학적 사고를 포기해야만 했습니다. 여기서부터 가장 기본적인 수소 원자에 한해서 설명을 할게요.

 

보어의 가정

보어는 빛에 적용했던, 그래서 어마어마한 성공을 거두었던 양자화 가설을 이번엔 전자의 원운동에 적용해 보기로 마음먹었습니다. 보어가 과감하게 도입한 각운동량의 양자화 가설에 따르면 전자는 원형철로를 달리는 기차처럼 자신에게 할당된 궤도만을 돌 수 있습니다. 

 

각운동량 양자화

 

보어는 수소 원자 내 전자의 공전에 의한 각운동량이 플랑크 상수의 특별한 배수를 갖는다고 가정합니다. 더 나아가 이러한 플랑크 상수의 정수배에 해당되는 궤도를 원운동 하는 전자는 전자기파의 방출 없이 항상 안정됨을 가정했어요. 이렇게 전자의 안정된 궤도를 '정상 궤도'라고 합니다. 이 모든 가정들은 원자가 특정 궤도에서 왜 안정한가를 설명하는 게 아닙니다. 그저 보어의 가정일 뿐이에요.

 

① 전자의 궤도 정량적 정의

 

② 전자의 궤도 에너지 준위 정량적 정의

수소 원자 내 전자의 각운동량이 양자화되어 있으니 정상 궤도 역시 여러 개가 불연속적으로 있을 거예요. 이처럼 보어가 과감하게 도입한 각운동량의 양자화 가설에 따라 전자가 가질 수 있는 궤도 및 에너지 또한 띄엄띄엄한 값만 허용됐죠.

궤도 에너지 분자항에 전자 전하량의 제곱이 아니라 네제곱임 e^2(x), e^4(o)

 

전기 퍼텐셜 에너지의 기준점은 원자핵 중심으로부터 무한대인 곳이기 때문에 궤도 전자의 총에너지는 음수(-) 값을 가집니다. 에너지가 음의 값이라는 건 전자가 원자핵에 속박돼 있다는 걸 의미해요. 식에 의하면 바닥상태, n=1의 전자를 수소 원자로부터 탈출시키기 위해서(=이온화시키기 위해서) 13.6eV 만큼의 에너지가 필요합니다. 실제 수소 원자의 이온화 에너지와 완벽히 일치합니다.

 

2) 원자의 선 스펙트럼 설명, 전자의 궤도 전이

 

그림에서 보듯이 전자는 한 궤도에서 다른 궤도로 전이할 수 있으며 이때 두 궤도에서의 총 에너지 차이만큼의 에너지를 갖는 광자를 방출하거나 흡수합니다.

 

△E = En - Em = hf  (f: 방출되거나 흡수된 광자의 진동수)     

 

이제 이 에너지 준위식을 이용하여 전자의 궤도 전이에 따라 방출되거나 흡수되는 빛의 파장을 구할 수 있습니다.

 

이 결과는 수소 원자의 스펙트럼이 연속 스펙트럼이 아닌 선 스펙트럼인 이유를 설명합니다. 전자가 가질 수 있는 에너지가 양자화되어 있기 때문에 전자의 전이에 따라 발생하는 전자기파 에너지 또한 양자화되어 있고, 그에 따라 진동수와 파장 역시 특정한 값만을 가질 수 있습니다.

 

다른 대담한 물리학의 가설처럼, 보어의 가설 또한 실험적인 검증을 거쳐야 했습니다. 그러나 다행히도, 그런 실험은 보어의 이론이 등장하기 아주 오래전부터 이미 존재하고 있었죠. 보어의 이론은 그 실험 결과와 거짓말처럼 잘 들어맞았습니다.

 

3) 보어 원자 모형 그 이후

 

보어 원자 모형에서는 전자의 위치와 에너지가 하나의 결정적인 값들로 양자화되어 있다고 봤어요. 그러나 양자 역학에 따르면 전자와 같은 미시 입자는 파동적인 성질이 우세하기 때문에 물리적 정보가 확률적 형태로 공간에 퍼져있어야 합니다. 따라서 현대의 원자 모형에서는 전자가 원자핵 주위에 구름처럼 퍼져 있다고 봐요.

 

잉크 한 방울이 투명한 물로 가득 찬 유리잔 속에서 확산되어 마침내 유리잔 전체를 채우는 과정을 상상해 봐요. 잉크 방울은 어디 있을까요? 누군가 이런 질문을 한다면 대답은 자명합니다. 잉크 방울은 유리잔 전체에 퍼져 있습니다. 이와 비슷하게 물질 속의 전자 하나하나는 이미 물질 전체에 퍼져 있어요. 양자 역학의 지배를 받는 입자는 이런 식으로 거동합니다.

 

그렇다면 전자에게 있어 파동성이 정의될 때, 그 파동의 실체는 무엇일까요? 대체 무엇이 파동 친다는 말일까요? 이 질문에 대한 해답은 양자 역학 ③편에서 다루겠습니다.

 

바코드 - 하온&빈첸

 

 

각 원자마다 원자핵의 전하량이 다르고, 그에 따라 전자의 수도 제각각입니다. 그러다 보니 정상 궤도들의 상태도 원자마다 천차만별이죠. 따라서 원자마다 고유한 정상 궤도들을 가지게 되며 그에 따라 전자 궤도 전이 시 방출되는 빛이 해당 원자의 정체성을 시각적으로 드러내는 속성이 될 수 있습니다. 다시 말해 원자는 빛을 방출함으로써 자신의 정체성을 드러내요.

 

하얀 바탕에 세로로 그어진 다양한 검은 줄로 이루어진 바코드. 바코드엔 해당 상품의 정보가 입력되어 있어요. 이 정보는 빛을 비춤으로써 드러나게 되죠. 얼핏 보면 원자의 선 스펙트럼과 비슷해 보이네요. 스스로 빛을 밝힘으로써 자신의 정체성을 드러내는 원자와 달리, 바코드는 누군가가 비추는 빛에 의해 자신의 정체성이 드러납니다.

 

똑같은 세로줄이지만 색이 없는 바코드 선과 색이 있는 스펙트럼 선. 이처럼 수동적으로 읽히느냐, 능동적으로 자기를 드러내느냐의 차이로 인해 색의 유무가 결정되는 거 같아요.

 

https://www.youtube.com/watch?v=YLAKEOW8HB8 

 

"삶이란 흐르는 오케스트라 우리는 마에스트로"

 

다양한 악기들의 협주 속 관계의 균형을 조율하여 오케스트라를 지휘하는 마에스트로처럼 내 삶을 조율하는 주체는 나 자신이어야 합니다. 어느 누구도 아닌 나 자신이 내 삶의 마에스트로가 되어야 나만의 고유한 빛깔이 삶 속에 묻어 나오지 않을까요?