[고급물리학] 힘과 운동 {뉴턴 운동 법칙, 기본 힘, 기타 힘}

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2024.03.21 - [2024 고급물리학] - [고급물리학] 운동의 표현과 종류 {벡터, 가속도, 포물선 운동, 등속 원운동}

[고급물리학] 운동의 표현과 종류 {벡터, 가속도, 포물선 운동, 등속 원운동}

학습 목표 물리량을 벡터와 스칼라로 구분하고, 벡터의 연산(내적, 외적)을 할 수 있다. 가속도의 의미를 이해하고 미분을 이용하여 표현할 수 있으며, 등가속도 운동에서 위치, 속도, 가속도 사

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학습 목표

힘과 운동의 관계를 다루는 동역학에 대하여 설명할 수 있다.
동역학의 핵심 내용인 뉴턴의 운동 법칙들의 의미를 설명할 수 있다.
여러 가지 힘이 작용하는 경우의 물리량을 구하는 예에서 미분이 포함된 운동 방정식을 해결할 수 있다.

물리학 전개도

판서 조직도

1. 힘과 운동의 관계

1) 뉴턴 운동 제2법칙, 가속도의 법칙

① 운동의 원인, 힘

물체에 작용하여 물체의 모양과 운동 상태를 변화시키는 원인. 기호는 F(Force), 단위는 N

② F=ma (mass: 질량, acceleration: 가속도)

물체는 알짜힘의 방향으로 가속됩니다. 이때 물체의 가속도 크기는 물체에 작용하는 알짜힘의 크기에 비례하고 물체의 질량에 반비례합니다. 이를 뉴턴 운동 제2법칙, 가속도 법칙이라 합니다.

2) 뉴턴 운동 제1법칙, 관성의 법칙

뉴턴 운동 제2법칙은 범용적인 법칙이라면, 뉴턴 운동 제1법칙은 특수한 상황에 한정된 법칙입니다. 그 특수한 상황은 물체에 힘이 작용하지 않은 경우에 해당합니다. 물체에 작용하는 알짜힘 F이 0이라면 가속도 a는 0이 될 수밖에 없습니다.

위 식의 정의에 따라 가속도가 0인 경우에 속력의 변화가 0입니다. 속력 변화가 0인 운동 상태는 딱 두 가지가 있어요. 첫 번째 정지해 있는 경우, 두 번째 등속 직선 운동을 하는 경우입니다.

즉 물체에 작용하는 알짜힘이 0이라면(=물체에 힘이 작용하지 않는다면), 물체의 운동은 정지 또는 등속 직선 운동으로만 정의됩니다. 뭔가 힘을 받지 않는 물체는 원래의 운동 상태를 유지하려는 것처럼 보입니다. 이처럼 힘이 작용하지 않는 물체가 자신의 운동 상태를 유지하려는 성질을 '관성'이라고 합니다.

ⓛ 관성의 예시

ⓐ계속 정지해 있으려고 해서 나타나는 현상

ⓑ계속 운동하려고 해서 나타나는 현상

② 관성과 질량

사람마다 성격이 다르듯이 운동 상태를 유지하려는 성질, 관성 역시 물체마다 달라요. 예를 들어 같은 속력 v로 움직이는 볼링공과 탁구공이 있습니다. 이 두 공에 힘을 작용하여 정지시키고자 합니다.

하지만 두 공은 '관성'이라는 본연의 성질 때문에 운동 상태를 유지하려 할 것입니다. 경험상 탁구공을 멈추는 것보다는 볼링공을 정지시키는 데 더 큰 힘을 주어야 함을 잘 알고 있습니다. 이는 볼링공의 관성이 탁구공의 관성보다 크다는 걸 뜻해요.

종합하면 볼링공은 관성이 커서 더 큰 힘을 주어야 정지하고, 탁구공은 관성이 작아 힘을 덜 주어도 정지합니다. 뉴턴은 그러한 추상적 성질인 관성을 '질량'이라는 구체적인 수치로 정의했어요. 즉, 관성이 큰 물체는 질량이 큰 물체이고, 관성이 작은 물체는 질량이 작은 물체입니다.

관성계

뉴턴 운동 제1법칙이 뉴턴 운동 제2법칙의 특별한 경우에 불과하지만, 뉴턴이 1법칙을 따로 지정한 이유는 1법칙에 대한 공로가 갈릴레이에게 있음을 밝히기 위한 것 이외에도 뉴턴의 운동 방정식 'F=ma'가 성립하는 기준계를 정의하기 위해서입니다. 물체의 속도나 변위는 관찰자에 따라 다르게 측정되므로 표준이 될만한 기준계가 필요했죠. 그 기준계를 '관성계'라고 합니다.

트럭 위의 사람이 공을 위로 던지는 상황을 예로 들겠습니다. 공이 손을 떠나는 순간, 트럭 안의 사람과 트럭 밖의 지면에 있는 관찰자가 보는 공의 운동 궤적은 서로 달라요. 그러나 운동의 양태, 바닥에 닿는 공의 속력과 바닥에 닿는 데 걸린 시간은 두 사람에게 똑같이 관찰됩니다. 왜냐면 이 물체에게 중력이 작용한다는 사실과 물체에 작용하는 힘에 의해 속도가 변화하는 경향은 두 사람에게 동일하기 때문이죠. 이처럼 물리 법칙이 동일하게 적용되는 계를 기준으로 설정하고, 이를 '관성계'라고 합니다. 다시 말해 트럭 위의 '등속 운동'하는 관찰자, 지면에 있는 '정지'해 있는 관찰자가 '관성계'입니다. 즉 관성계는 정지해 있거나, 등속 운동하는 기준계입니다.

2. 힘들이 맺는 관계

1) 뉴턴 운동 제3법칙, 작용과 반작용 법칙

내기의 꽃, 손목 치기. 맞는 놈도 아프지만 사실 때린 놈도 아픕니다.

스케이트를 타다가 친구를 밀면 친구만 밀려나는 게 아니라 나도 밀려나요. 내가 친구에게 오른쪽으로 힘을 작용하면 동시에 친구는 나에게 왼쪽으로 힘을 작용하기 때문이에요. 이처럼 힘은 두 물체 사이에서 상호 작용하는데, 이때 두 물체 사이에 작용하는 두 힘은 작용과 반작용 관계를 이룹니다.

작용과 반작용의 관계를 맺는 두 힘

	작용	반작용
손목 때리기	'나의 손가락'이 '친구 손목'을 때리는 힘	'친구 손목'이 '나의 손가락'을 때리는 힘
사람 밀기	'나'가 '친구'를 미는 힘	'친구'가 '나'를 미는 힘

작용과 반작용의 관계에 있는 두 힘은 '주어와 목적어 위치가 바뀌어 있음'을 확인하세요.

① 작용과 반작용의 관계를 맺는 두 힘의 예시

② 작용과 반작용의 관계를 맺는 두 힘의 특징

ⓐ두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.

ⓑ두 힘은 서로 다른 물체에 작용한다.

ⓒ두 힘은 동일 작용선상에 있다.

2) 힘의 평형

작용 반작용 관계와 평형 관계 비교

작용 반작용 관계인 두 힘	평형 관계인 두 힘

공통점 - 두 힘의 크기가 같고, 방향이 반대이다.

차이점 - 작용 반작용 관계의 두 힘은 각각 다른 물체에 작용하지만, 평형 관계의 두 힘은 한 물체에 작용한다.

문제 상황에서 두 힘의 관계 정의하기

F1과 F2 그리고 F3와 F4, 각각의 주어와 목적어가 뒤바뀐 두 힘들이기에 작용과 반작용의 관계입니다.

그렇다면 이 그림에서 평형 관계를 맺고 있는 두 힘을 찾아볼까요? 평형 관계에 놓인 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며, 한 물체에 작용합니다. 그림에서 책이 정지해 있습니다. 책에 작용하는 알짜힘이 0이기 때문이죠. 알짜힘이 0이기 위해서 책에 작용하는 두 힘 F2와 F4는 크기가 같고 방향이 반대여야 합니다. 그리고 F2와 F4는 모두 책이라는 한 물체에 작용하는 힘들이죠. 따라서 F2와 F4, 두 힘은 평형 관계에 있습니다.

책뿐만 아니라 책상도 정지해있으니 책상에 작용하는 힘들의 관계도 살펴봅시다.

3. 운동 방정식

지금까지 배워온 역학적 룰을 이용하여 물체의 운동을 분석하는 단계로 왔습니다. '운동 방정식'이라 지칭하는 이유는 'F=ma'라는 기본 형태의 방정식 여러 개를 연립하여 답을 찾아가는 과정이 수학에서의 연립 방정식 풀이 과정과 유사하기 때문이에요. 다양한 상황의 물체에 작용하는 모든 힘들을 모조리 찾아내는 것은 물론이거니와 상황에 따른 역학적 룰을 알고 있어야 방정식을 정의할 수 있기 때문에 다음 설명을 잘 이해한 뒤, 스스로 적용 및 응용해 보길 바랍니다.

1) 물체끼리 접촉돼 있는 경우

두 물체에 힘이 작용할 때 물체의 경계에서 물체끼리 부서지지 않는 한 같이 움직이기 때문에 두 물체의 가속도는 같습니다. 이때 가속도의 값을 구하기 위해서는 두 개의 식이 필요해요.

2) 물체가 실로 연결된 경우

실로 연결된 두 물체에 힘이 작용하면 두 물체를 잇는 실이 팽팽해지는데 이때 실 전체에 장력 T이 생깁니다.

장력은 실이 잡아당기는 힘이에요. 그렇기 때문에 실은 B를 왼쪽으로 잡아당기고, A를 오른쪽으로 잡아당깁니다. 이 경우에도 실이 끊어지지 않는 한 두 물체는 같이 움직이기 때문에 두 물체의 가속도는 같습니다. 이제 방정식을 세워봅시다.

ⓛ 도르래

② 빗면

ⓐ 모두 정지해 있는 경우

ⓑ 빗면에 놓인 물체의 질량이 증가해서 움직이는 경우

4. 기본 힘

중력은 네 가지 기본 힘 중 가장 약한 힘입니다. 뉴턴은 중력의 크기를 만유인력의 법칙으로 정의했고, 아인슈타인은 중력의 원인을 일반상대성이론으로 입증했습니다. 전기력과 자기력은 서로 구별되는 다른 힘이 아니고 공통된 힘이라는 사실은 패러데이의 전자기 유도, 맥스웰의 방정식, 그리고 특수상대성이론으로 밝혀집니다.

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정지와 등속 운동은 같은 운동 상태 뉴턴은 정지한 물체와 등속도 운동하는 물체의 구분이 불가하다고 했다. 그 이유는 두 운동 상태가 본질적으로 같기 때문이다. 물체에 작용하는 알짜힘이 0

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우리에게 다소 생경한 강력과 약력은 만물을 구성하는 원자보다 훨씬 더 작은 미시 세계에서 작동하는 주요 힘들입니다. 약력은 중성자가 양성자와 전자로 나눠지는 과정에서 관여하는 힘이고, 강력은 핵자를 구속시켜 원자핵을 만들어주는 힘입니다.

지진과 화산 폭발을 일으키는 힘, 약력

약력은 다양한 원자의 핵을 단단하게 유지할 정도로 강하지 않기 때문에, 주로 원자핵이 더 작은 입자로 붕괴되는 과정에 관여합니다. 이 과정 동안 방사선이 방출되죠. 지구의 내부가 뜨거운 이유는 그곳에서 방사성 붕괴가 일어나고 있기 때문이에요. 그러므로 지진과 화산 폭발을 일으키는 막대한 에너지의 원천은 약력인 셈입니다.

중력을 통합하는 과정에서 제시된 끈 이론

현재의 물리학은 전기력, 자기력, 약력, 강력을 하나의 범주로 통일하였습니다. 그런데 지금까지 써먹었던 방법을 중력에 적용하기만 하면 예외 없이 문제가 발생했습니다. 이론적으로 계산할 때마다 무한대라는 답이 속출하는 것이었죠. 무한대는 수학적으로는 가능하나 실제 자연현상에서는 존재하지도 않고 존재해서도 안됩니다. 어떤 이론을 적용해 계산했을 때 무한대가 나온다면 그 이론이 완전하지 못하거나 틀렸다는 것을 의미합니다.

20세기를 대표하는 석학들이 이 문제를 해결하기 위해 혼신의 노력을 기울였지만 아무도 성공하지 못했어요. 기존의 방법으로는 해결할 수 없으니, 무언가 새롭고 독창적인 아이디어가 필요했죠. 이런 시기에 혜성처럼 등장한 것이 바로 끈 이론입니다.

5. 기타 힘

1) 마찰력

두 물체가 접촉하고 있을 때 힘 F를 작용하여 두 물체를 미끄러지게 하면 마찰력은 다음과 같은 세 가지 특성을 가집니다.

①물체가 움직이지 않으면 정지 마찰력의 크기는 외력 F의 크기가 같다.
②정지 마찰력의 최댓값은 최대 정지 마찰력이다.
③물체가 움직이기 시작하면 운동 마찰력이 작용하고, 운동 마찰력의 크기는 최대 정지 마찰력의 크기보다 작다.

마찰 계수는 물체와 표면에 따라 결정되는 값입니다. 따라서 물체와 표면의 특성에 의존하므로 항상 "무엇의 사이"라는 말을 사용하여야 해요.

ex) 운동 마찰 계수가 0.3이다 (X) → 지면과 물체 사이의 운동 마찰 계수가 0.3이다(O)

2) 탄성력

물체가 원래 상태로 되돌아가려 하는 힘을 탄성력이라 합니다.

3) 장력

실을 비롯한 줄이 팽팽한 상태에서 인접한 부분들을 서로 잡아당기는 힘입니다. 이때 동일한 줄이라면 줄의 어느 부분인지 상관없이 작용하는 장력의 크기는 모두 동일해요.

4) 저항력

저항력은 공기를 비롯한 유체 속을 운동하는 물체에 작용하는 힘입니다.

종단 속력 구하기

그땐 그랬지 - 카니발

https://www.youtube.com/watch?v=P68jdOdFfE0

참 느렸었고 지루한 나날들의 반복이라 시간이 어서 흐르기만을, 빨리 어른이 되기를 바랐던 어렸을 적. 그랬었기에 합격자 발표날 내 이름이 보이던 순간, "드디어 내 세상이 왔다! 고생 끝 행복 시작이다."라 생각했지만 지나고 보니 산다는 건 하루하루가 전쟁이더라고요. 불타오르는 청춘의 시절, 뜨거웠던 사랑이 끝났을 때의 쓰라림과 허무함에 세상이 무너진다고 여겼던, 그런 때도 있었지를 회상하며 지난 추억을 곱씹다 보면 산다는 건 하루하루가 연습과도 같더라고요. 이처럼 삶은 괴로움과 즐거움이 반복되며 쉽사리 끝을 보이지 않는 만만치 않은 무언가더라고요.

삶은 작용과 반작용

빛이 있으면 암흑이 있고, 맑은 날이 있으면 비 오는 날도 있습니다. 따뜻한 계절이 지나 추운 계절이 오기 마련이고 태어나면 죽기 마련입니다. 이처럼 자연의 기저에는 작용과 반작용, 항상 반대되는 무언가가 있기 마련이에요. 자연은 그런 반대를 그대로 받아들이며 흘러갑니다. 아무 일 없었던 것처럼... 그러나 사람들 대부분은 삶에 즐거움만 가득하기를 바라고 괴로움이 끝이 없다고 불평합니다. 작용이 있으면 반작용이 있듯이 즐거움이 있으면 필연적으로 괴로움이 따라오는 것이 삶의 참모습인데도요. 그걸 받아들이지 못하니 일이 생길 수밖에요.

삶의 괴로움을 거부하는 사람은 삶의 즐거움까지 빼앗기고 맙니다. 둘 다 갖든지, 둘 다 포기하든지 하나만 선택해야지 둘 중 하나만을 가질 수 없습니다. 괴로움과 즐거움의 반복, 어쩌면 우리의 인생은 시시포스의 인생일지도 모릅니다. 어차피 굴러 떨어지게 될 바위의 필연적인 운명을 감내하면서도 힘겹게 위로 올려보려는 과정, 그 끝없는 반복. 그럼에도 우리는 신화 속 시시포스처럼 각자의 '삶의 바위'를 견뎌야만 합니다. 그 정도의 묵직함이 있어야 경박함과 허풍을 상쇄시키고 끝없는 욕망의 골짜기를 메울 수 있으며 평범한 삶의 소중함을 깨달을 수 있어요. 오늘도 물리를 통해 인생을 배웁니다.

내용 체크 문제

21년도 9월 모평 물리학1 10번

답: 4번

21년도 수능 물리학1 10번

답: 2번

22년도 6월 모평 물리학1 13번