일반 상대성 이론

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성취 기준

등가 원리와 시공간의 휘어짐으로 인해 블랙홀과 중력 시간 지연이 나타남을 이해하고, 일반 상대론에 흥미를 느낄 수 있다.

물리학 전개도

 

판서 조직도

 

 

돌아보면 과거의 인연들에게 모두 서투르지 않았나란 후회를 하게 됩니다. 그게 연인이었을 수도, 친구였을 수도, 가족이었을 수도, 과거의 나일 수도 있어요. 서툴렀던 과거는 시간 속에 점점 옅어져서 아득한 기억의 지평선 너머 아스라이 흩어집니다. 우리는 그들을 붙잡을 수도, 그때로 돌아갈 수도 없어요. 아인슈타인에게도 그런 후회가 있었습니다. 이 시간의 일반 상대성 이론은 아인슈타인의 후회를 통해, 한때 너무나 익숙해서 당연한 것으로 여겼던 존재들을 기억의 지평선 너머로 담담하게 보내주며, 그럼으로써 서로의 끝이 새로운 길 모퉁이가 될 수 있음을 알려줍니다.

 

1. 관성

외부에서 알짜힘이 작용하지 않을 때 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 성질

1) 관성계

뉴턴 운동 제1법칙, 관성의 법칙이 적용되는 좌표계로써 정지 좌표계와 등속 운동 좌표계가 이에 해당합니다.
 

 
정지해 있는 물체는 정지한 관찰자에게 정지해 보이지만, 속력 v로 운동하는 관찰자에게 반대 방향으로 v만큼 운동하는 것처럼 보입니다. 이처럼 물체의 운동 상태는 관찰자에 따라 다르게 보여요. 하지만 물체에 작용하는 힘이 0이라는 사실과 속도 변화가 0이라는 사실은 두 관찰자 모두에게 동일합니다. 따라서 두 관찰자는 모두 운동 법칙 F=ma를 통해 물체의 운동을 같은 방식으로 설명할 수 있어요. 
 

비관성계

 
반면, 가속 운동하는 좌표계인 비관성계에서는 F=ma의 일관성이 어그러집니다. 등가속도 운동하는 차에 물체가 매달려있고, 이를 관찰하는 두 사람이 있어요. 
 
① 관성계의 관찰자 입장

 
A는 물체에 작용하는 장력과 중력의 알짜힘에 의해 물체가 차를 따라 등가속도 운동한다고 판단합니다.
 
② 비관성계의 관찰자 입장

 
그러나 B가 보기에 물체는 정지해 있습니다. 분명 물체에 장력과 중력이 작용하여 그 합력에 의한 등가속도 운동을 해야 하는 데도 말이죠. 운동 법칙, F=ma이 어그러져버렸습니다.
 

2) 관성력

뉴턴은 비관성계에서도 운동 법칙이 적용되게 하는 관성력이라는 가상의 힘을 고안합니다. 관성력이란 물체가 현재의 운동 상태를 그대로 유지하려는 관성 때문에 나타나는 가짜예요. 비록 가짜지만 우리는 관성력을 느낄 수는 있습니다.
 

 
차가 급출발할 때 뒤를 향하는 관성력을 느끼며, 차가 급정거하면 앞을 향하는 관성력을 느낍니다. 이와 같이 비관성계 안에서 느껴지는 힘을 관성력이라고 하며, 크기는 다음과 같아요.
 

 
관성력의 크기는 물체의 질량과 좌표계의 가속도의 곱이며, (-) 부호는 관성력의 방향이 좌표계의 가속도 방향과 반대임을 의미합니다. 
 

 
B의 입장에서는 관성력이 장력과 중력의 합력을 상쇄하므로, 알짜힘이 0이 되어 물체가 정지해 있다고 설명합니다.
 

엘리베이터에서의 관성력

 

 
TV에 나오는 우주인들이 우주정거장에서 둥둥 떠다니는 것은 지구와 너무 멀어서 중력이 사라졌기 때문이 아닙니다. 우주 정거장의 고도는 기껏해야 450km 이내, 서울에서 부산까지 거리밖에 안 돼요. 사실 상공 450km은 우주라는 말이 어울리지 않을 정도로 가까운 거리입니다. 그런데도 우주인의 몸이 둥둥 떠다니는 것은 우주선이 그들과 함께 지구로 떨어지고 있기 때문이죠.
 

 
엘리베이터가 중력 가속도 g로 자유 낙하한다면 중력이 사라진 듯한 현상이 나타나는데요. 이를 무중력 상태라고 합니다. 실제로 중력이 작용하지 않는 것이 아니고, 무게가 측정되지 않아 중력이 작용하지 않는 것과 같아진 상태예요. 
 

2. 등가 원리

1) 질량이 있는 물체

 
두 상황의 관찰자는 자신이 지표면에 정지해 있는지, 아니면 우주 공간에서 가속도 g로 가속 운동하고 있는지 구별할 수 없습니다. 이는 중력 mg와 관성력 mg가 동일한 효과를 나타내기 때문이에요. 이처럼 중력이 작용하는 정지 좌표계와 가속도 g로 가속 운동하는 좌표계는 구별할 수 없다는 것을 등가 원리라고 합니다.
 

2) 질량이 없는 빛

 
위로 가속하는 가속 운동 좌표계, 우주선에서는 빛이 아래로 휘어진 것처럼 보입니다. 이는 우주선이 광속에 가까운 속도로 위로 가속하면서 바닥이 상대적으로 올라오기 때문이에요.
 

 
그렇다면 중력이 작용하는 정지 좌표계의 관찰자가 보는 빛의 궤적은 어때야 할까요? 등가 원리에 따르면 그 어떤 역학 실험도 g로 가속 운동하는 좌표계와 중력이 작용하는 정지 좌표계의 구분을 허용하지 않습니다. 빛도 예외가 아니에요. 그렇기 때문에 아인슈타인은 빛 또한 중력의 영향을 받아 휘어진 궤적으로 움직인다는 추론을 합니다. 이 추론은 등가 원리란 대전제를 연역해서 얻은 결론이었기에 빛이 중력의 영향을 받아 휨을 입증할만한 데이터가 필요했어요.

 

적과의 동침, 에딩턴의 개기일식

아인슈타인의 추론은 수학적으로 흠잡을 데 없이 완벽했지만 그 답을 얻기 위해 천문학자들에겐 개기일식이 필요했습니다. 태양이 빛나는 낮에는 별을 전혀 볼 수 없고, 반대로 밤에는 태양이 없어 실험할 수 없기 때문이었죠. 1913년, 에딩턴이 일식이 발생할 때 태양 뒤의 별을 보는 데 성공함으로써 빛이 중력에 의해 휜다는 아인슈타인의 추론이 사실로 밝혀집니다. 아래 그림처럼 태양 뒤에 가려진 별이 보이려면 필연적으로 빛은 태양 근처에서 휘어야만 합니다.
 

 
독일의 아인슈타인과 영국의 에딩턴. 당시 제1차 세계대전의 혼란을 겪은 뒤 적과 아군이 환희와 매혹을 함께 나눈 최초의 순간이었습니다. 이는 제1차 세계대전 이후 민족의 벽을 넘어선 유의미한 국제 협력이었죠.
 

3. 공간의 재정의, 장(field)

중력에 의해 빛이 휜다는 결론을 두고 아인슈타인이 해석한 과정을 살펴봅시다. 중력이란 응당 질량이 있는 물체에 작용하는 힘이에요. 그렇다면 질량이 없는 빛에 작용하는 중력은 0일 텐데 진행 경로가 어떻게 휠 수 있는 걸까요? 게다가 빛이 휜다는 사실은 빛의 속도가 일정하지 않다는 걸 뜻합니다. 이는 광속 불변 원리에 위배되는 심각한 문제가 아닐 수 없어요. 아인슈타인은 광속 불변 원리를 고수하면서 빛의 휨에 대한 명쾌한 해석을 내놓아야만 했습니다.
 

 
그에 대한 아인슈타인의 결론은 과감했어요. 아인슈타인은 애초에 중력이란 건 없다고 봤습니다. 단지 질량의 존재가 그 질량 주위의 공간을 왜곡하고, 이 공간의 왜곡이 자유로이 움직이는 모든 물체의 경로를 결정한다고 본 것이죠. 즉, 빛은 질량에 의해 휜 공간을 따라 진행하기 때문에 휘어져 보이는 것입니다.
 
이처럼 공간은 객체와 상호 작용하여 왜곡되는 실체, 즉 물질 개념으로 변모하게 됩니다. 아인슈타인은 이러한 새로운 공간 개념을 장(field)이라 정의하고, 질량과 상호 작용하는 공간을 중력장이라 하였습니다.

 

1) 중력에 의한 시간 지연

특수 상대성 이론에 의하면 공간이 왜곡됨에 따라 시간 또한 왜곡됩니다. 그 이유는 어떤 상황이 와도 광속의 절대성이 부정되지 않기 때문이죠. 따라서 질량을 가진 물체에 의해 공간이 왜곡되었다면 그 물체 주변의 시간도 왜곡되어야 해요.

 
지상 2만 km 상공에서 인공위성의 시간과 비교해서 지상에서의 시간은 39 ㎲ 더 느리게 흐릅니다. 70년이 지나면 지구와 인공위성의 시간의 갭은 1s 차이가 날 거예요. 이 차이는 매우 작지만, 이를 보정하지 않으면 GPS의 위치 계산에 큰 오차가 발생하여 정상적으로 사용할 수 없습니다.
 
GPS의 시간 보정은 중력에 의한 시간 지연이 실제로 존재함을 보여 줘요. 이는 시간 지연이 관성계뿐 아니라, 등가 원리에 따라 중력장과 등가인 가속 좌표계, 즉 비관성계에서도 나타날 수 있음을 의미합니다. 이로써 관성계에서의 특수 상대성 이론은 비관성계를 포함한 일반 상대성 이론으로 발전하게 돼요.

 

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아인슈타인의 우주 방정식

 
전자기장이 맥스웰 방정식에 의해 정의되듯이 아인슈타인은 맥스웰 방정식에 대응되는 중력장에 대한 방정식, 우주 방정식을 만듭니다. 
 

 

벨기에의 천문학자이자 가톨릭 신부였던 르메르트는 아인슈타인의 우주 방정식을 풀어 본 뒤, 우주는 팽창해야 한다고 주장합니다. 더 나아가 시간을 거꾸로 되돌리면 우주는 빅뱅으로부터 시작되었을 것이라고 설명해요. 아인슈타인은 이를 강하게 부정합니다. 우주가 정적이지 않다는 것만으로도 받아들이기 어려웠는데, 우주에 시작까지 있었다는 주장은 신이 세상을 창조했다는 종교적 세계관과 맞닿아 있었기 때문이죠. 그는 끝내 정적인 우주를 유지하기 위해 방정식에 우주상수를 추가합니다.

 

 

하지만 역사는 아인슈타인의 믿음과 다른 방향으로 흘러가요. 허블은 우주가 실제로 팽창하고 있음을 관측했고, 이후에는 빅뱅의 흔적인 우주 배경 복사까지 발견됩니다.

 

 

138억 년의 시간을 건너 우리에게 도달한 우주 배경 복사는, 어쩌면 구약성경의 창세기에서 말한 '빛이 있으라'를 떠올리게 하는 최초의 빛인지도 모릅니다.

 

2) 블랙홀

우주 방정식을 풀면 블랙홀이라는 특수해가 나와요. 처음에 아인슈타인은 자신의 방정식이 틀렸다 생각했고, 블랙홀이 실제로 존재할지에 대해서 의문을 가졌습니다. 아인슈타인 사후 1965년, 펜 로즈가 이를 수학적으로 증명함으로써 블랙홀의 존재가 이론적으로 입증됐고요. 이후 2019년, 실제로 블랙홀이 관측됨으로써 블랙홀의 존재가 입증됩니다.
 

 

탈출속도와 블랙홀

 
항성의 질량이 클수록 탈출속도는 커집니다. 질량이 매우 커져 탈출속도가 빛의 속도와 같거나 이를 초과하면, 빛조차 빠져나올 수 없게 되는데요. 이러한 천체를 블랙홀이라고 합니다. 
 

빛과 시간, 모두 멈춰버리는 사건의 지평선

 
 빛은 너무나 가벼워서(light), 말 그대로 빛(light)이 될 수 있었어요. 자연에서 가장 빠른 건 빛이기 때문에 한 영역에서 일어난 사건에 대한 정보는 빛을 통해 다른 영역으로 전달됩니다. 그러므로 빛의 이동에 제한이 생긴다면 정보 전달에 문제가 생길 수밖에 없어요. 극단적으로 빛을 통한 정보가 전달되지 않을 수도 있습니다. 시공간의 경계, 사건의 지평선에서 일어나는 일입니다. 흔히 지평선 하면 멀리 땅 아래로 태양이 넘어가서 태양이 보이지 않게 되고, 지평선 너머에 무엇이 있는지 알 수가 없습니다. 마찬가지로 사건의 지평선을 넘어가게 되면 그 너머에서 어떤 사건들이 일어나는지 알 수 없어요.
 
 

 

사건의 지평선 - 윤하

https://youtu.be/TDU8U-0Y4Q4

 

별의 무덤, 블랙홀

 
저기 사라진 별의 자리 아스라이 하얀빛이 스러져가는 블랙홀의 가장자리
사건의 지평선 너머 한때 찬란하게 빛났던 별의 시간이 희미하게 머물러 있듯이
아낌없이 반짝인 시간은 조금씩 옅어져 가더라도
한때의 우리 과거는 기억의 지평선 너머 희미한 추억으로 살아 숨쉽니다.
그러나 사건의 지평선 너머에 있는 무언가와 어떠한 상호 작용이 불가능하듯이
기억의 지평선 너머의 과거와는 더 이상 상호 작용을 할 수가 없습니다.

 

후회는 지평선 너머로

 

방정식이 예측한 블랙홀을, 그리고 방정식이 제시한 동적인 우주를 조금만 더 믿어 보았다면 빅뱅 이론도 아인슈타인이 발견할 수 있었을 겁니다. 아인슈타인은 우주상수를 집어넣은 것을 "내 인생에서 가장 큰 실수였다."라고 말하며 계속 후회했어요. 하지만 아이러니하게도, 정적인 우주를 만들기 위해 도입했던 우주상수는 약 100년이 지난 오늘날 우주의 가속 팽창을 설명하는 암흑에너지의 후보로 다시 주목받고 있습니다.

 

 

우주의 시작을 받아들이고 싶지 않았던 아인슈타인이, 결과적으로는 우주의 진화를 설명하는 중요한 단서를 남긴 셈이죠. 한때 실수라고 여겨졌던 선택이 훗날 우주의 비밀을 푸는 열쇠가 되기도 합니다. 어쩌면 우리가 후회하는 과거도, 시간이 흐른 뒤에는 전혀 다른 의미를 갖게 될지 몰라요. 그러니...

 

여긴, 서로의 끝이 아닌 새로운 길 모퉁이

 
후회와 미련은 사건의 지평선 너머로 보내버려요 우리.
끝이 마무리되는 지평선에서 새로운 내일이 떠오르듯이
어설프고 어리석었던 과거를 담담히 받아들이고 새로운 시작을 도모하는
좀 더 성숙한 나로의 도약을 위한 현명한 마지막 매듭을 지어봐요 우리. 
윤하의 사건의 지평선을 들으며, 오늘도 물리를 통해 인생을 배웁니다.