등속 원운동과 진자 운동

해당 차시 학습지 파일

 

성취 기준

물체에 작용하는 힘의 방향에 따라 물체의 운동 방향이 변할 수 있음을 원운동 등 다양한 예를 들어 설명할 수 있다. 

물리학 전개도

 

판서 조직도

 

세상에서 가장 위험한 것은 평범해지는 것이다.

 

영화 Whiplash의 주인공 앤드루는 세계 최고의 드러머가 되겠다는 꿈을 품고 살아갑니다. 하지만 그를 찾아오는 건 수많은 실패와 좌절, 그리고 "그 정도면 충분하다"는 주변의 만류였죠. 그럼에도 그는 끝없이 도전했습니다. 이 시간은 그가 가진 굳건한 신념과 도전의 의미를 물리학으로 살펴보는 등속 원운동과 진자 운동입니다.

 

1. 등속 원운동

 

등속 원운동하는 물체의 속력은 일정하지만 운동 방향은 궤도의 접선 방향으로 매 순간 변합니다.

 

1) 각속도와 주기

① 각속도

 

반지름이 r인 원에서, 호의 길이가 S가 만드는 중심각을 θ [rad]라고 하면 S는 rθ입니다. 물체가 원호를 따라 t초 동안 일정한 속력으로 거리 S를 지나가는 상황에서 물체의 속력 v를 단위 시간당 각도의 변화로 표현할 수 있는데요. 이때 단위 시간당 중심각의 변화를 각속도 w [rad/s]라고 합니다. 이를 토대로 각속도와 속도의 관계를 정의할 수 있어요. 따라서 같은 각속도로 회전할 때는 반지름이 클수록 속력이 커지고, 같은 반지름에서는 각속도가 클수록 속력이 커집니다.

 

② 주기

물체가 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 주기 T라고 합니다. 한 주기 동안 물체는 360º(= 2π rad)만큼 회전하므로, 각속도 w는 다음과 같습니다.

 

 

2) 구심 가속도과 구심력

등속 원운동은 속력이 일정하지만 운동 방향이 계속 바뀌는 운동이므로 가속도 운동입니다.

① 구심 가속도

 

속도 변화량 △v의 방향(= 가속도의 방향)은 항상 원의 중심을 향합니다. 즉, 등속 원운동하는 물체의 가속도는 항상 원의 중심을 향합니다. 그래서 구심 가속도라 불러요. 그 크기는 다음과 같습니다.

 

 

② 구심력

 

mrω2나 mv2/r은 구심력이라는 새로운 힘을 나타내는 식이 아니라, 원운동에 필요한 구심력의 크기를 나타내는 식입니다. 실제로 구심력의 역할을 하는 힘은 상황에 따라 달라질 수 있어요.

 

 

즉, mrω2나 mv2/r은  구심력 그 자체가 아니라 중력, 전기력, 마찰력 등이 가져야 할 크기를 나타내는 표현이라고 이해해야 합니다.

 

등속 원운동과 일-에너지 정리

물체에 작용하는 힘, 구심력은 항상 변위에 수직한 방향으로 작용하기 때문에 구심력이 물체에 하는 일이 0이 됩니다. 일 에너지 정리에 따라 물체에 작용하는 힘이 한 일이 0이라면 물체의 운동 에너지는 변화하지 않아요. 그렇기에 등속 원운동하는 물체의 속력이 일정합니다. 이처럼 구심력은 속력을 변화시키지 않는 대신에 운동하는 내내 운동 방향을 변화시켜요.

 

3) 구심력과 주기, 회전 반지름 간의 관계

 

 

 

2. 진자 운동

 

1) 진자에 작용하는 알짜힘

진자에는 항상 아래로 향하는 중력과 실이 당기는 장력이 동시에 작용합니다. 이 두 힘을 더한 알짜힘은 위치에 따라 다르게 나타나요.

 

① 최고점

진자가 운동을 시작하거나 잠시 멈추는 지점으로, 장력과 중력이 비스듬하게 작용합니다. 이때 알짜힘은 원의 중심이 아니라 진자 궤도의 접선 방향을 향해요.

 

② 최저점

진자가 가장 아래를 지나는 지점에는 운동 방향이 순간적으로 수평이 됩니다. 이때 알짜힘은 정확히 운동 방향과 수직인 위쪽 방향으로 작용하는데요. 힘이 운동 방향에 수직으로 작용하면 속력은 변하지 않고 방향만 위로 꺾이게 되므로, 이 알짜힘은 진자가 다시 위로 올라갈 수 있도록 운동 방향을 바꾸어 주는 역할을 합니다.

 

③ 임의의 지점(=내려가거나 올라가는 중)

최고점과 최저점 사이를 운동하는 동안, 진자에 장력과 중력이 비스듬하게 작용합니다. 이때 알짜힘은 진자 궤도의 접선 방향을 향해요.

 

2) 진자의 속도 변화

진자가 최고점에서 최저점으로 내려갈 때는 알짜힘이 진자의 운동 방향과 같은 쪽으로 비스듬히 작용합니다. 그래서 속력이 점점 빨라져요. 반면 최저점에서 최고점으로 올라갈 때는 알짜힘과 진자의 운동 방향이 반대이기 때문에 속력이 점점 느려져요.

 

 

진자에 작용하는 알짜힘은 두 가지 역할을 동시에 수행합니다. 운동 방향과 나란한 힘의 성분은 속력을 바꾸고, 운동 방향과 수직인 힘의 성분은 물체의 이동 방향을 곡선으로 틀어줍니다. 즉, 진자 운동은 속력과 방향이 동시에 변하는 운동이에요.

노력과 시간은 배신하지 않는다

등속 원운동과 진자 운동에서 물체의 이동 방향에 수직하게 작용하는 힘은 물체를 더 빠르게 만들지 않습니다. 대신 궤도를 벗어나지 않도록 방향을 바로잡아 주죠. 노력도 그렇습니다. 노력은 성공을 보장하지 않아요. 노력은 목표를 향한 방향을 잃지 않게 합니다. 성공은 우연히 찾아오는 것이고, 그 우연을 붙잡을 준비는 꾸준한 노력 속에서 만들어집니다. 앤드루의 삶도 그랬어요. 수많은 실패에 굴하지 않는 노력은 그를 단번에 성장시키지 않았지만, 목표를 향한 방향만큼은 잃지 않게 했습니다. 그리고 그 과정에서 그는 평범함을 거부하는 신념을 갖게 되었어요.

 

Whiplash - aespa

https://www.youtube.com/watch?v=QI9gpOPLTeE&list=RDQI9gpOPLTeE&start_radio=1

 

비범한 성공에는 비범한 신념이 필요하다

 

"뭐 그렇게 힘들게 올라가려고만 해? 평탄하게 가도 괜찮다"는 말에 넘어가면 물체에 작용하는 힘과 물체의 운동 방향이 수직일 때, 힘이 물체에 한 일이 0이 되는 것처럼 내가 꿈꾸는 미래의 의미가 사라지게 됩니다. 비범한 성공을 얻으려면 비범한 신념을 가져야 합니다. 비범한 사람이 되고자 하는데 왜 비범하지 않은 사람들의 말에 휘둘리려 하죠? 그런 말을 들을 때일수록 내 기준과 가치를 믿으며 나아가야 합니다. 영화 '위플래쉬'가 비범한 사람이 되어 가는 과정을 보여 준다면, 그 과정을 견뎌 낸 사람이 갖게 되는 자신감과 확신으로 남들의 시선에 흔들리지 않고 자신의 길을 가겠다는 선언의 aespa의 Whiplash를 들으며, 오늘도 물리를 통해 인생을 배웁니다.