뉴턴의 만유인력 법칙 (중력 법칙)

2022.03.16 - [물리학II 클립] - 케플러의 법칙과 행성의 운동

케플러의 법칙과 행성의 운동

학습 목표

뉴턴의 중력 법칙을 이해하고 응용할 수 있다.

물리학의 흐름

물체가 떨어지는 일은 태초부터 있었다. 달이 지구 둘레를 돈다는 사실은 까마득한 옛적부터 알려져 있었다. 과거의 사람들은 천상의 운동과 지상에서 관찰한 물체의 운동을 완전히 별개로 생각하였다. 그때는 중력(만유인력)이라는 개념이 없었다. 사람들은 달이 지구를 중심으로 원운동 한다고 믿고 있었지만, 이 운동을 중력 법칙과 같은 운동 법칙으로 설명한 것이 아니라 천상의 운동이란 완벽하고 이상적인 모양(원)을 추구하기 때문이라는 신학적 관념에 판단 근거를 두었다.

행성의 운동 법칙을 설명한 케플러

케플러는 스승 티코 브라헤가 생전에 관찰하고 모아두었던 행성의 운동 자료를 토대로 '케플러 법칙'을 정리하였다. 행성 운동에 관한 케플러 법칙은 자연현상에서부터 직접 찾아낸 경험 법칙이었다. 케플러는 법칙을 자연에서 그저 캐낼 수 있었음에 만족하지 않고 한발 더 나아가 더 근본적인 행성 운동의 원인을 찾고자 노력했다. 행성이 태양에 가까워질수록 공전 운동 속도가 빨라지고 또 멀리 떨어질수록 속도가 느려진다. 태양과 그토록 멀리 떨어져 있는 행성들은 자신이 태양에 접근 또는 후퇴하는지를 어떻게 알아내는 것일까? 행성이 태양의 존재를 감지할 수 있는 모종의 방법이 있지 않을까? 그렇다면 떨어져 있어도 작용하는 자기력 같은 힘이 태양과 행성 사이에서 작용하는 것은 아닐까? 케플러는 행성 운동의 근본 원인이 자기력의 작용과 유사한 성격의 것이라고 제안했다. 그는 놀랍게도 중력(만유인력)의 개념을 예견한 것이다.

 

요하네스 케플러가 자신의 일생을 바쳐 추구한 목표는, 행성의 움직임을 이해하고 천상 세계의 조화를 밝히는 것이었다. 이러한 목표는 그가 죽고 36년이 지난 후에 결국 결실을 맺게 된다. 그것은 뉴턴의 연구를 통해서였다.

1. 뉴턴의 만유인력 법칙

뉴턴

뉴턴은 물체가 떨어지는 현상과 달이 지구 둘레를 공전하는 현상이 같은 힘에 의해 일어난다는 엄청난 사실을 최초로 알아낸 사람이었다. 뉴턴은 사과로 머리를 두드려 맞고 나서, 지구가 사과를 잡아당겨 떨어뜨리는 힘이 달이 원 궤도를 따라 운동하도록 지구가 달을 잡아당기는 힘과 같다고 판단하고 그 힘을 '중력'이라고 불렀다.

수평으로 던진 물체의 운동

물체를 수평 방향으로 세게 던질수록 수평 방향으로 멀리 이동하지만, 결국 물체가 땅으로 떨어지는 데 걸리는 시간은 수평 방향의 속도와 관계없이 모두 같다.

 

그렇다면 충분히 높은 높이에서 충분히 빠른 속도로 수평 운동을 하며 떨어진다면 어떻게 될까? 만약 지구가 편평하다면 높은 곳에서 물체의 수평 운동이 아무리 빨라도 결국엔 땅으로 떨어질 것이다. 하지만 지구는 둥글어서 둥근 면을 따라 지면이 시작점보다 점점 낮아지기 때문에 바닥에 닿지 않고 계속해서 같은 높이를 유지할 수 있다.

 

이러한 운동을 하는 물체가 바로 달이다. 달이 지구 주위를 돌고 있는 운동은 엄밀히 따지면 1초에 1.3 mm씩 지구 쪽으로 낙하한다고 말할 수 있다.

태양계 행성들도 태양의 중력으로 인해 태양을 구심점 삼아 주위를 돌고 있다. 이처럼 뉴턴은 천체간 서로의 이끌림과 지구와 물체 간 서로의 이끌림을 '만유인력'이라는 힘으로 포괄하여 정의했다.

 

뉴턴은 질량을 가지고 있는 만물끼리 서로 끌어당기는 본질적인 힘을 '만유인력'이라 하고, 그 힘의 세기를 두 물체 간의 거리와 질량의 수학적인 관계로 정의했다. 지구가 달을 끌어당기는 중력은 지구와 달 사이의 만유인력이었고, 태양이 지구를 끌어당기는 중력은 태양과 지구 사이의 만유인력이었다. 즉, 천체의 공전은 각자의 구심점이 작용하는 만유인력에 의해 이끌려 그 구심점을 향해 영원히 떨어지고 있는 중인 운동인 셈이다.

2. 인공위성의 운동

질량이 m인 인공위성이 그림과 같이 지표면으로부터 높이 h에서 일정한 속력으로 질량이 M인 지구 주위를 회전하려면 얼마의 속력을 유지해야 할까?

인공위성이 지구 주위에서 원운동을 계속 하려면, 인공위성에 구심력이 작용해야 하며 이때 지구와 인공위성 간에 작용하는 만유인력이 구심력 역할을 한다. 이 사실을 이용해 운동 방정식을 세우고, 지구 주위에서 원운동하기 위해 필요한 속력 v를 구해보자.

인공위성의 주기 T와 회전 반경과의 관계를 구해보자.