[고급물리학] 행성의 운동과 케플러 법칙 {만유인력}

2021.04.19 - [2024 고급물리학] - [고급물리학] 관성모멘트와 돌림힘으로 설명하는 회전 운동 {돌림힘, 관성모멘트, 각운동량}

[고급물리학] 관성모멘트와 돌림힘으로 설명하는 회전 운동 {돌림힘, 관성모멘트, 각운동량}

학습 목표

• 케플러의 세 가지 운동 법칙을 이용하여 행성의 운동을 분석할 수 있다.
• 케플러 법칙을 이용하여 인공위성의 궤도, 속도를 구할 수 있다.

 

물리학 전개도

요하네스 케플러는 그의 스승 티코 브라헤가 평생 동안 관측해 놓은 자료를 이용하여 행성의 운동에 관한 세 법칙을 정리하였습니다. 케플러의 세 법칙은 뉴턴 역학 체계를 지지하는 중요한 경험적 근거였기 때문에 뉴턴으로 하여금 '만유인력의 법칙'을 발견하는 데 큰 도움이 되었어요. 이로써 뉴턴은 뉴턴 역학이 적용되는 범위를 지구 밖으로 넓혀 자신 이론의 범용성을 위시하였습니다.

 

판서 조직도

 

1. 천체의 회전 운동을 설명하는 케플러 법칙

 

1) 케플러 제1법칙

 

 

태양계의 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도 운동을 합니다. 타원의 두 초점 중 한 곳에 태양이 있고, 행성이 지나는 타원 궤도에서 태양과 가까운 점을 근일점, 가장 먼 점을 원일점이라 합니다.

 

 

 

 

2) 케플러 제2법칙(=면적 속도 일정의 법칙)

 

태양과 행성을 연결한 선분이 같은 시간 동안에 그리는 면적은 항상 일정합니다.

따라서 행성의 공전 속력은 행성이 태양에서 가까운 지점을 지날 때 빠르고, 먼 지점을 지날 때 상대적으로 느려요.

 

 

 

 

 

① 케플러의 귀납

 

② 뉴턴, 케플러의 귀납이 옳음을 법칙으로 설명하다

만유인력의 방향은 궤도 방향 r과 같으므로 만유인력에 의한 돌림힘은 0이 됩니다. 따라서 행성의 각운동량은 보존되어야 해요.

 

뉴턴 역학이 도출한 행성의 '각운동량 보존'이 어떻게 케플러의 '면적 속도 일정'으로 귀결되는지 확인하세요.

 

 

뉴턴은 '각운동량 보존 법칙'으로 케플러가 귀납해서 얻어낸 결론 '면적 속도 일정'을 증명해 낸 것입니다.

 

3) 케플러 제3법칙

 

① 케플러의 귀납

 

 

 

행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴반지름 a의 세제곱에 비례합니다.

 

 

 

② 뉴턴, 케플러의 귀납이 옳음을 법칙으로 설명하다

 

2. 뉴턴의 만유인력 법칙

 

뉴턴은 떨어지는 사과에 머리를 후드려 맞고, 지상에서의 물체 운동과 천상에서의 달과 지구의 공전 모두 중력의 결과라는 엄청난 사실을 최초로 알아낸 사람입니다.

 

수평으로 던진 물체의 운동

 

물체를 수평 방향으로 세게 던질수록 수평 방향으로 멀리 이동합니다. 그렇다면 충분히 높은 높이에서 충분히 빠른 속도로 수평 운동을 하며 떨어진다면 어떻게 될까요? 만약 지구가 편평하다면, 물체를 아무리 높은 곳에서 빠르게 던질지라도 결국 땅에 닿고 맙니다. 하지만 지구는 둥글어서 둥근 면을 따라 지면이 시작점보다 점점 낮아지기 때문에 바닥에 닿지 않고 계속해서 같은 높이를 유지할 수 있게 돼요.

 

 

이러한 운동을 하는 물체가 바로 달입니다. 달의 공전은 엄밀히 따지면 1초에 1.3 mm씩 지구 쪽으로 자유 낙하하는 운동과 같아요.

 

 

태양계 행성들도 태양의 중력으로 인해 태양을 향해 영원히 떨어지고 있는 중입니다. 이처럼 뉴턴은 천체 간 서로의 이끌림과 지구와 물체 간 서로의 이끌림을 '만유인력'이라는 힘으로 포괄하고, 만유인력을 질량을 가지고 있는 만물끼리 서로 끌어당기는 본질적인 힘으로 보았습니다. 더 나아가 만유인력의 세기를 두 물체 간의 거리와 질량의 수학적인 관계로 정의합니다. 

 

3. 인공위성의 운동

 

질량이 m인 인공위성이 그림과 같이 지표면으로부터 높이 h에서 일정한 속력으로 질량이 M인 지구 주위를 공전하려면 얼마의 속력을 유지해야 할까요?

 

 

인공위성이 지구 주위에서 원운동을 계속하려면, 인공위성에 구심력이 작용해야 하며 이때 지구와 인공위성 간에 작용하는 만유인력이 구심력 역할을 합니다. 이 사실을 이용해 운동 방정식을 세우고, 지구 주위에서 원운동 하기 위해 필요한 속력 v를 구해봅시다.

 

인공위성의 주기 T와 회전 반경과의 관계를 구해봅시다.

 

 

해와 달 - 조성모

https://youtu.be/iCunQ2esdK4

 

난 이제 가는 길이야. 널 또 못 본 체로

내가 떠나야 올 수 있는 넌데 늘 숨바꼭질하듯 엇갈리잖아.
아마 세상이 끝나기 전에는 늘 이러겠지.

 

소원이 있어.
차라리 내가 지금 아주 작은 별이라면
슬픈 이별은 하지 않아도 될 텐데

보고 싶은 마음 모아서 너 오면 보라고 노을로 남길게.

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해와 달은 천체의 궤도 운동과 슬픈 짝사랑, 서로 완전히 달라 연결이 되지 않는 것처럼 보이는 사실들 사이의 유사함을 가사로 풀어낸 노래입니다. 이러한 창의성이 천상과 지상 사이에 다리를 놓았던 사례들을 알려드릴게요.

 

기하학으로 천상과 지상을 통합한 뉴턴

 

케플러는 태양계 행성들이 타원 궤도를 따라 움직인다는 걸 발견하고, 갈릴레이는 떨어지는 물체가 포물선 궤적을 그리며 움직인다는 걸 발견합니다. 이 각각의 발견들 역시 심오하며 대단하지만 천상의 타원과 지상의 포물선, 전혀 관련이 없어 보이는 두 운동의 기하학적 단일성이 발견됐다는 사실이 더욱 놀랍지 않나요?

 

타원과 포물선 모두 원뿔을 평면으로 가로지름으로써 만들 수 있음

 

그를 발견한 주인공이 바로 뉴턴입니다. 나무에서 떨어지는 사과와 하늘에서 돌고 도는 달처럼 서로 완전히 달라 연결이 되지 않는 것처럼 보이는 사실들 사이의 유사함을 찾아내는 능력. 바로 여기에서 뉴턴의 천재성이 드러나는 겁니다. 뉴턴은 궤도를 도는 것이 떨어지는 것의 한 형식임을 이해했고, 천상과 지상의 통합을 완성합니다.

 

제일 처음 굴을 먹은 사람은 누구일까?

 

조수 간만의 차와 시기는 한 달 내내 급격하게 변해서 어떤 때는 조수 간만의 차가 별로 크지 않지만, 또 어떤 때는 그보다 훨씬 크게 나타납니다. 이처럼 무작위로 나타나는 조류의 패턴은 고대 인류에게 오랫동안 수수께끼로 남았을 거예요. 사실 그들이 조류의 패턴을 쉽게 이해하지 못한 것은 어찌 보면 당연한 일입니다. 왜냐하면, 그에 대한 해답이 누가 봐도 전혀 상관없어 보이는 '밤하늘'에 있기 때문이죠.

 

 

즉 최초로 굴을 먹은 사람은 하늘을 주의 깊게 관찰한 고대의 천문학자입니다. 매일 밤 다양한 형태로 밤하늘을 찾아오는, 신비롭게 크고 하얗고 둥근 물체와 바다의 움직임 간의 연결고리를 파악하여 조류를 예측하게 된 그는 언제 바다에 가야 하는지 계획할 수 있었고, 이로써 굴은 안정적으로 구할 수 있는 주식의 한 부분이 될 수 있었죠. 이처럼 창의성은 꾸준한 관심과 지속적인 관찰에서 비롯됩니다.

 

내용 체크 문제

 

21년도 6월 모평 물리2 11번

답: 4번

 

20년도 6월 모평 물리1 7번

답: 1번